Geordnete Mengen. 35—40. 
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36. Satz: Eine aus mindestens fünf, nicht einer planar geordneten 
Teilmenge angehörenden Dingen bestehende Teilmenge einer über 
planar geordneten Menge ist eine überplanar geordnete Menge. 
Beweis wie zu 14 und 25. 
37. Definition: Eine Menge heißt „übersphärisch geordnet“, 
wenn aus ihr durch Vielfachzählung eines Dinges a als a a , a^, a y , . . ., 
wo a, ß, y, . . . eine planar geordnete Menge bilden, eine iiberplanar 
geordnete Menge entsteht, in welcher für ein Ding b stets: 
b über (a a , dp, a y ), wenn a rechts (ßy). 
38. Definition: Eine Iiberplanar geordnete Menge heißt „dicht“, 
wenn zwischen je vier, nicht einer planar geordneten Teilmenge an 
gehörenden Dingen der Menge ein Ding der Menge liegt. 
39. Definition: Eine Teilmenge m einer überplanar geordneten 
Menge M heißt „relativ dicht“, wenn zwischen je vier, nicht einer 
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen der Menge M ein 
Ding der Menge m liegt. 
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut) dicht, 
aber im allgemeinen nicht umgekehrt. 
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer iiberplanar geordneten Menge 
besteht aus mindestens fünf nicht einer planar geordneten Teilmenge 
angehörenden Dingen, ist also (36) überplanar geordnet. Denn ist 
die Teilmenge uneigentlich, dann ist der Satz evident; ist sie eigent 
lich und sind a, b, c, d vier, nicht einer planar geordneten Teilmenge 
angehörende Dinge der Menge, so existieren Dinge a, ß, y, d, s der 
Teilmenge, so daß s zwischen a, b, c, d; ferner a zwischen b, c, d, 
ferner ß zwischen cc,c,d,s; ferner y zwischen a,ß,d,s; ferner ó' 
zwischen «, ß, c, s liegt; so liegt y über (resp. unter) (a, ß, s) und es 
liegt d unter (resp. über) (cc, /3, s) } also gehören a, ß, y, d, e keiner 
planar geordneten Teilmenge an. 
40. Satz: In einer überplanar geordneten Menge wird jedes Ding 
durch seine Ordnungsbeziehungen zu je drei, mit ihm nicht einer 
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen einer relativ dichten 
Teilmenge eindeutig bestimmt. 
Beweis: Sind a =4= b zwei Dinge der Menge, so existieren in der 
relativ dichten Teilmenge zwei Dinge x, y, die mit a, b keiner planar 
geordneten Teilmenge angehören; denn sonst wäre, entgegen 39 Fol 
gerung 2 die relativ dichte Teilmenge planar geordnet. Somit gibt es 
dann in der relativ dichten Teilmenge ein Ding z zwischen a, b, x, ?/; 
also ist z. B. z unter (bxy), über (xya), also 
b über (xyz), a unter (xyz)\