16 I. Grundlagen der Arithmetik. 
d. h. a und fr haben jedenfalls zu dem Tripel (x, y, z) der relativ 
dichten Teilmenge nicht dieselbe Ordnungsbeziehung. 
41. Definition: Eine überplanar geordnete Menge heißt „stetig“, 
wenn jedem mit 32 verträglichen System von Ordnungsbeziehungen 
eines Dinges zu den Dingen einer überplanaren Teilmenge wenigstens 
ein Ding der Menge entspricht. 
Folgerung: Eine überplanar geordnete stetige Menge ist dicht. 
Denn ist (z. B.) a über (fr, c, d) und a, fr, c, d Dinge einer überplanar 
geordneten stetigen Menge, so existieren Dinge x, die den Ordnungs- 
beziehungen genügen: 
O O O 
x über (fr, c, d), unter (c, d, a), über (d, a, fr), unter (a, fr, c) 
d. h. x zwischen (a, fr, c, d). 
Gruppen. 
42. Definition: Eine Menge heißt „Gruppe“*) und ihre Dinge 
heißen „Elemente“, wenn folgender Grundsatz besteht: 
43. Grundsatz: Je zwei Elementen a, fr der Gruppe ist ein 
drittes, mit a + fr bezeichnetes, eindeutig zugeordnet. Das Element 
a + fr heißt durch „Komposition“ aus a und fr entstanden.**) 
44. Definition: Mit 0 (Null) werden Elemente bezeichnet, für 
die 0 + 0 = 0 ist. Solche Elemente brauchen nicht vorhanden zu 
sein, wie das System der positiven ganzen Zahlen, mit der Addition 
als Komposition, beweist; sie sollen jedoch stets auf Grund der de 
finierenden Gleichung 0 + 0 = 0 hinzugefügt werden. 
45. Eine Gruppe kann „assoziativ“ sein, d. h. es kann das „asso 
ziative***) Gesetz“ 
(tt + fr) + C = (X + (fr + c) 
gelten. Daß es nicht zu gelten braucht, beweisen die „Oktaven“f), 
«o + a ii + a 2.l + a 3 fr + a n ij + a 13 ik + a 23 jk + (ij) k, 
*) Zuerst bei É. Galois (für Gruppen von Permutationen), s. Galois, Œuvres 
mathématiques publ. par É. Picard Paris 1897 S. 25. 
**) Daß hier die Komposition unter dem Bilde der Addition, nicht, wie 
sonst bei Gruppen üblich, unter dem der Multiplikation dargestellt wird, ist 
natürlich unwesentlich. Z. B. faßt auch Gauß (Disquisitiones arithmeticae, 
Werke Bd. 1, S. 273) die Komposition der Klassen quadratischer Formen als 
Addition auf. 
***) „Assoziativ*' wahrscheinlich zuerst von Sir W. R. Hamilton eingeführt 
(vgl. H. Hankel, Vorlesungen über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen. 
Teil I, Leipzig 1867, p. 3). 
f) Vgl. Cayley, Phil. Mag. 26 (1845) p. 208, 211; 30 (1847) p. 257 = 
Papers I p. 127, 301.