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I. Grundlagen der Arithmetik. 
a°= 1 7 a m = setzen, da dies mit a k+x = a k a in Einklang, wenn, 
wie im folgenden stets, A vorausgesetzt wird. 
86. Definiti onen: Die Worte: Division, Divisor, Dividend, 
Quotient, Bruch, Zähler, Nenner, gebrochene Zahl, rationale Zahl sind 
hier in bekannter Weise zu erklären. Die nichtrationalen Zahlen, 
welche im System der rationalen Zahlen durch Anordnungsbezie 
hungen definiert werden können und welche das System zu einem 
stetigen ergänzen, heißen „irrationale“*) Zahlen-, die rationalen und 
die irrationalen Zahlen zusammen bilden das System der „reellen“**) 
Zahlen. 
87. Ein Zahlensystem kann „kommutativ“ sein, d. h. es kann 
das kommutative Gesetz der Multiplikation gelten: 
C ab = ha. 
Daß es nicht zu gelten braucht, auch wenn alle vorhergehenden 
Sätze gelten, beweist das System der „Quaternionen“: 
a -\-bi-\r cj + dij, 
wo a, b, c, d rationale Zahlen sind und i, j den Gleichungen genügen: 
r -(- 1 — j 2 + 1 == ij -f- ji = 0. 
88. Sätze: Es ist 2a = a = a-\-a = a(l-\-\) = a-2 usw., 
allgemein ha = ah für ganze Zahlen h. 
= a = a = 2 • * • a, also a — = ~ a; 
für ganze Zahlen h, h. 
89. Im folgenden kommen nur Systeme in Betracht, in denen 
die aufgestellten Axiome der Verknüpfung alle gelten, mit even 
tueller Ausnahme von A, B, C. 
90. Satz: In einem System mit A, B, ohne C hat eine qua 
dratische Gleichung x 2 — 2ax A = 0 im allgemeinen beliebig viele 
Wurzeln X’ gilt aber C, so hat sie niemals mehr als zwei. 
Beweis: Es sei z. B. das System das der Quaternionen und a, A 
reelle Zahlen, A — a 2 eine positive Zahl. Man zerlege A — a 2 in 
b 2 -f- c 2 -f- d 2 was auf beliebig viele Arten möglich ist, so genügt 
x = a + bi -f- cj -f- dij stets der Gleichung. 
*) Die irrationalen Zahlen werden also auf Grund von Anordnungs- (d. h. 
Größen-) Beziehungen definiert. „Das Irrationale verlangt zu seiner syste 
matischen Fassung den Größenbegriif“ (Hankel, 1. c. S. 47). 
**) Zuerst in Descartes’ Géométrie 1637.