Zahlensysteme. 99—103. 
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„rechtssingulären“ Zahlen x =j= 0 und „linkssingulären“ Zahlen 1 + 0, 
mit x% = 0, zu unterscheiden, wovon wir aber absehen, da dieser 
Unterscheidung hier keine Bedeutung zukommt. 
Im folgenden werden, wie oben, die aufgestellten Gesetze außer 
B, C vorausgesetzt, und, wo Divisionen Vorkommen, soll der Divisor 
als nichtsingulär angenommen werden. 
102. Definitionen: Es heißt (a,ß) = a— ß der „Abstand“ von 
a und ß, ferner (a, ß, y) = ^ das „Verhältnis“ der drei Zahlen 
«, ft y, schließlich («, ft r, «) = P tÖ das „DoppelVerhältnis" der 
p, 0) 
vier Zahlen a, ß, y, ö. 
103. Sätze: Es ist (aß) =—(/3a). Es ist (aß) (ßy) = (ay). 
Es ist 
(aßy) (ßay) = 1, denn || • ^ = 1. 
Es ist 
Wr) + («y« - o *■» ™ = Ä« _ !. 
Setzt man also (aßy) = A, so kommt: 
(aßy) = 1 (ßya)= (yaß) = i ^ 
(ßay) = | (ayß) = 1 — A (yßcc)= —- y • 
1 ~ 1 
Das Verhältnis (aßy) ist eine „affine Invariante“, d. h. es bleibt un 
verändert, wenn man auf a, ß, y dieselbe lineare ganze Substitution 
anwendet.*) 
Gelten B und C, so können diese 6 Werte zu je zweien einander 
gleich werden: 
dann wird y = ; y das „arithmetische“ Mittel von a und ß. 
Gelten B und C, so können die 0 Werte des Verhältnisses auch 
*) Derartige Funktionen werden sonst als Semi-Invarianten bezeichnet 
(s. F. W. Meyer, Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie. 
Ber. d. deutschen Math. Ver. I, Berlin 1892); es entspricht durchaus dem üblichen 
Sprachgebrauch des Wortes „affin“ dieselben als affine Invarianten den projek 
tiven gegenüberzustellen.