Zahlensysteme. 112—119. 
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Beweis: Gilt erstens C nicht, so erhält man z. B. aus „Vektoren“ 
a _j_ + c j durch Harmonien nur Vektoren, weil Summen, Diffe- 
renzen, Reziproke ( B + t ‘ + <tf -- ¡¡4V*+2) Y ° n Vektoren wieder 
Vektoren sind, aber durch Involution z. B. zu a = 1, /3 = 0, y = — 1 
d = — j, ß' = 1 + 2« die Quaternion - 1 —^ 
Gilt dagegen C, so findet man zu a, d, ß, ß', y die sechste involu- 
torische Zahl y, indem man der Reihe nach y lt y 2 , y 12 , y 21 , y aus den 
fünf Harmonien ermittelt: 
(adyyß) = — 1, (ßß'yYt) = — 1? 
(cccc'y 2 y 2i ) = - 1, (ßß'yi7is) ==— 1; 
(yy = ~ L *) 
116. Definition: Wenn die Doppelverhältnisse (aßyd), (d ß' y 8') 
einander gleich sind, so heißen {^ j in dieser Ordnung „pro- 
jektivisch“, oder sie bilden eine „Projektivität“.**) 
117. Satz: Die Involution {“, ^,J,J ist mit der Projektivität 
I cc ß' y a | 
l cc y ß cc I 
Beweis: (aßyd) = (ay'ß'a') gibt: 
(a—y)(ß—y)~ 1 (ß—d)(a — d)- 1 =(a—ß') (y'—ß')~ 1 (y — d) (a—d)~ l us w. 
118. Satz: Zu sieben Zahlen ergibt sich die achte projektivische 
im allgemeinen eindeutig. 
Beweis folgt aus 108. 
119. Satz: Zu sieben Zahlen kann die achte projektivische im 
allgemeinen dann und nur dann durch bloße Harmonien gefunden 
werden, wenn C gilt. 
Beweis: Gilt C nicht, so ergibt sich das Behauptete aus der 
Projektivität: 
wie bei 115. 
Gilt C, so siehe Wiener 1. c. p. 672. 
*) s. Wiener, Über die aus zwei Spiegelungen zusammengesetzten Ver 
wandtschaften. Leipz. Akad. Ber. math.-phys. Kl. Bd. 43 (1891) p. 644, ins- 
besondei'e p. 670. 
**) Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures (Paris 1822). 
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