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I. Grundlagen der Arithmetik. 
Geordnete Zahlensysteme. 
120. Defi nition: Ist ein Zahlensystem eine geordnete Gruppe, 
so heißt es ein „geordnetes Zahlensystem“. 
121. Definitionen: In einem linear geordneten Zahlensystem, 
soll statt a nach b, ci vor b gesagt werden a „größer als“ b (a > b), 
a „kleiner als“ b (a < b), so zwar, daß die zwischen 1 und 0 be 
stehende Ordnungsbeziehung 1 > 0 lautet. Die Zahlen > 0 heißen 
„positiv“, die < 0 „negativ“. Mit Rücksicht auf 52 und 102 kann statt 
a > b auch (a, b) > 0 gesagt werden, ebenso (a, b) = 0 statt a = b. 
In einem planar geordneten Zahlensystem soll statt a rechts 
(resp. links) (b, c) gesagt werden: (a, b, c) > 0*) (resp. < 0). Gehören 
a, b, c einer linear geordneten Teilmenge an, so soll (a, b, c) = 0 ge 
setzt werden. 
In einem überplanar geordneten Zahlensystem soll statt a unter 
(resp. über) (b, c, d) gesagt werden (a, b, c, d) > 0*) (resp. < 0). Ge 
hören a, b, c, d einer planar geordneten Teilmenge an, so soll 
(a, b, c, d) = 0 gesetzt werden. 
122. Satz: In einem geordneten Zahlensystem bleibt die Ordnung 
bei Multiplikation aller Zahlen mit einer positiven rationalen Zahl 
ungeändert. 
Beweis: Aus (a, &,...)> 0 folgt (0, b — a, . . .) > 0 und daraus 
folgt nach 55, resp. 61, resp. 67 für positive ganze Ti: 
(0, lib — ha, . . .) > 0, d. h. (ha, hb, . . .) > 0. 
positive ganze h. Im planaren 
Je .. . T t , ..i 
Pall kann ^ auch negativ sein. Im linearen und überplanaren Fall 
sind dann die Zeichen > und < zu vertauschen. 
Folgerung: Ein geordnetes Zahlensystem ist dicht, denn es ent- 
ct —Jo -j— c “j- d 
, resp. 
, wenn a,b,c,d Zahlen 
des Systems sind; und diese Zahlen liegen zwischen a, b, resp. zwischen 
a, b, c, resp. zwischen a, b, c, d. (s. 54, 60, 66.) 
123. Satz: Der Grundsatz 52 für lineare Anordnung ist unab 
hängig von allen vorhergehenden Grundsätzen. 
Beweis: Es seien a, a, b, b', ... ganze Zahlen und die Brüche 
J ^ ; l’ } ■ ■ • reduziert, von positivem Nenner und so geordnet, daß 
*) Hier ist («, b, 6*) resp. (a, b, c, d) natürlich nicht das Verhältnis resp. 
Doppelverhältnis.