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Größensysteme. 125—130. 
so würde durch Addition von 1 und — 1 folgen: 
2 < 0 < 1 und 0 < — 2 < — 1, 
und aus 
2 < 0 < — 2 
durch Multiplikation mit ~: 
1 > 0 > — 1, 
gegen die Annahme. Wäre zweitens 
so würde ebenso: 
0 < 2 < 1 und — 2 < 0 < — 1, 
und aus 
— 2 < 0 < 2, -1<0<1 
folgen, gegen die Annahme. 
Aus a > 0, — 1 < 0 folgt also — a < 0. 
Aus a^>b, — h > 0 folgt entweder: 
a + h > b -f h, 0 > h, 
oder: 
a -f- h < b + h } 0 < h, 
also das erstere. Ebenso aus 
a>b, 0 > — li 
entweder: 
a h b -f- h 0, 
oder: 
a -(- h b -(- h 0, 
also das erstere. Demnach folgt aus a > b stets a + h > b 4- h, wo 
mit 52 bewiesen. Aus « > 6, h > 0 folgt u — fr > 0, h > 0, also 
(a— fr) fr > 0, ali — frfr > 0, afr > frfr. Ebenso h(a — fr)> 0, fra>frfr. 
Ebenso aus a > b, fr < 0 folgt ah < frfr, ha < frfr; damit ist auch 12G 
bewiesen. 
130. Satz: Das multiplikative Anordnungsaxiom 126 für lineare 
Anordnung ist unabhängig von allen vorhergehenden Grundsätzen 
einschließlich 52 und der Stetigkeit. 
Beweis: Man ordne das System der imaginären Zahlen a + di 
so, daß a + di > b -f b'i heißt, wenn entweder & > fr, oder a = b, 
d > b' ist. Dann besteht offenbar 52, aber nicht 126, denn aus 
i > 0 < 1 folgt durch Multiplikation mit i: — 1 > 0 < i, während 
(122) — 1 < 0 ist.