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1. Grundlagen der Arithmetik. 
131. Gr rnndsatz der relativen Dichte: 
U Eine geordnete Menge enthält ein gewöhnliches (s. 128) 
Größensystem als relativ dichte Teilmenge. 
132. Satz: Gilt in einem linearen Größensystem der Grundsatz 
D, so folgt: Von jeder gegebenen Größe =f= 0 des Systems ist ein 
reelles Vielfaches größer als jede gegebene Größe; d. h. wenn a =f= 0, 
x gegebene Größen sind, so existiert eine reelle Größe h so, daß 
ha > x ist. 
Beweis: Liege zwischen x und x + 1 die reelle Größe li, und 
zwischen 0 und a die reelle Größe h, so folgt x < h < h * a. 
133. Satz: C und D sind unabhängig von allen Grundsätzen 
der Verknüpfung, denen der linearen Anordnung und von der Stetigkeit. 
Beweis: Man betrachte das System von Funktionen zweier Va 
riabein x und y, die A genügen: 
a = a 0 x m °y n ° + a i x r,h y ,>i -f a 2 x m *y ni + • • • 
mit reellen Koeffizienten a 0 , a x , . . ., ganzzahligen Exponenten m 0 , n 0 , 
m,, n* 
. und so geordnet, daß das Glied x m hy n u dem Gliede x m ky n k 
vorangeht, wenn entweder m h < m k oder wenn m h = m k , n h < n k ist. 
Ferner sei .. 
xy = kyx*), 
wo A eine gegebene reelle positive Zahl ist. Dann gilt zunächst C 
nicht, aber die übrigen Verknüpfungssätze und die Stetigkeit. Damit 
auch die Anordnungssätze 52 und 126 gelten, setze man a < a", wenn 
a" — a'>0, und man setze a > 0, wenn der erste Koeffizient a 0 > 0 
ist. Nunmehr gelten offenbar 52, 126, also auch B (nach 127). 
Aber D gilt nicht; denn es gibt kein reelles Vielfaches von x größer 
als y, weil stets hx — y <i 0 ist. Es muß noch gezeigt werden, daß 
in dem Systeme die Division ausführbar ist, d. h. nicht nur B gilt 
(s. o.), sondern auch die Reziproken existieren. Die Größe 
( c o + c t x + x 1 -(- • • •) x m y n , 
wo die c h nur von y abhängen, hat die Reziproke: 
y~ n x~ m (d Q + d x x -f d. 2 x 2 + •••)> 
wenn 
c o ( o = f 
c 0 V G d 0 = 0, 
G d% + G^i “k G d$ =0 
*) Man darf nicht (wie Hilbert, Grundlagen der Georn., 1899, p. 74) X = — 1 
annehmen, da sonst die Anordnungsgrundsätze nicht erfüllt wären. In der zweiten 
Auflage setzt Hilbert 1 = 2.