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Vandermonde. 
diese Substitution ferner in den Gleichungen aus, von welchen die Auflösung 
jener Gleichungen des fünfzehnten und zehnten Grades im allgemeinen ab 
hängt, u. s. w., so müfste man, falls die Gleichungen fünften Grades über 
haupt allgemein auflösbar sind, an letzter Stelle zu Gleichungen kommen, 
welche rationale Factoren von höchstens dem vierten Grade haben. Um 
die Wurzeln der gegebenen Gleichung zu finden, hätte man nur nötig, diese 
Factoren gleich Null zu setzen, also Gleichungen von niedrigerem Grade 
als dem fünften zu lösen. Wir sind jedoch im Stande, den Faden dieser 
Untersuchungen zu verfolgen, ohne dafs wir die Gleichungen berechnen, 
indem wir nämlich beständig an Stelle von a, b, c, cl. e. f. . . ihre Wurzeln 
in die verschiedenen elementaren Grundformen der Ausdrücke einsetzen, 
welche unterschiedslos eine jede von sechs, zehn, fünfzehn u. s. w. gegebe 
nen Gröfsen darstellen; denn die Anzahl der verschiedenen Anordnungen, 
welche durch die verschiedenen möglichen Vertauschungen der Buchstaben 
unter einander hervorgebracht werden können, wird uns jederzeit angeben, 
welche Schwierigkeiten noch zu überwinden bleiben. Nur die Länge der 
erforderlichen Rechnungen hindert uns, auf diese Weise alle Möglichkeiten 
zu erschöpfen. 
Es handelt sich also zunächst darum, unsere sechs Wurzeln in die For L 
meln der Artikel XXX und XXXI zu substituiren. 
1. Führt man in dem Artikel XXX diese Substitution in nachstehender 
Reihenfolge aus: 
[a ß y 0 e] für a 
* III IV II I 
[a ß s y 3] für b 
* IV X IX III 
[a ß 5 e y] für c 
* II IV I III 
[a ß y £ §] für d 
* III IV II i 
[a ß e 5 y] für e 
* II IV I III 
[a ß § y £ ] fü r f: 
* IV I II III 
so findet man, dafs die Gröfsen u' und w' 2 dieses Artikels XXX nicht mehr 
von einer Gleichung fünfzehnten Grades, sondern nur von einer solchen 
fünften Grades abhängen. Die Gleichung, welche die Werte u', u", u'", 
u ly und u Y zu Wurzeln hat, wird vollständig rational, und die übrigen 
Werte von u hängen von einer Gleichung zehnten Grades ab. 
Die allgemeine Auflösung der Gleichungen fünften Grades ist somit auf 
die Auflösung einer oder, wenn man will, mehrerer specieilen Gleichungen