Empirische Betrachtungen über das gradlinige Continumn der Anschauung. [§ 55 
IV. Kapitel. 
Von den Elementensystemen nnd insbesondre yob denjenigen 
von einer Dimension. 
1. 
Empirische Betrachtungen über (las gradlinige Continumn der Anschauung. 1 ) 
§ 55. Was ist das Kontinuum? Es ist dies ein Wort, dessen Bedeutung 
Jeder auch ohne irgend eine mathematische Definition kennt, da wir das Con- 
tinuum in seiner einfachsten Form als das gemeinsame Merkmal vieler concreter 
Dinge anschauen. Solche Dinge sind, um einige der einfachsten anzuführen, 
z. B. die Zeit und der Ort, den in der äussern Umgebung der hier gezeichnete 
Gegenstand oder ein mit einem Blei beschwerter. Faden einnimmt, wenn man 
von seinen physischen Eigenschaften und seiner Dicke (im empirischen Sinn) 
absieht. 2 ) Wollen wir die Eigentümlichkeiten dieses intuitiven Continuums 
erfassen, so müssen wir uns nach einer abstracten Definition desselben umsehen, 
in welcher die Anschauung oder die wahrnehmbare Darstellung nicht mehr als 
notwendiger Bestandteil auftritt. Diese Definition muss vielmehr umgekehrt 
dazu dienen können, andre Eigenschaften desselben intuitiven Continuums abstract 
mit voller logischer Schärfe aus ihr herleiten zu können. Dass diese Definition 
mathematisch abstract gegeben werden kann, werden wir später sehen. Wollen 
wir auf der andern Seite, dass diese Definition nicht eine reine Formsache sei 
und der obigen Anschauung entspreche, so muss sie offenbar aus der Unter 
suchung derselben hervorgehen, auch wenn dann später die abstráete, mit 
mathematisch möglichen Principien übereinstimmende, Definition dieses Con- 
tinuum als einen besondern Fall enthalten sollte. 
Der Gegenstand der Figur 1 heisst gradlinig. Unter 
sucht man nun das Continuum, so sieht man, dass man es 
als eine Zusammensetzung aus einer Reihe consecutiver iden 
tischer Theile a, b, c, d, u. s. w., die von links nach rechts 
angeordnet sind, erhalten kann, und dass dieses innerhalb 
gewisser Grenzen der Beobachtung richtig ist. Die Theile 
sind durch die auf den Gegenstand eingezeichneten Striche 
getrennt und sind ebenfalls continuirlicli. Lässt man ferner 
den Blick über den Gegenstand von links nach rechts hin 
gleiten, so sieht man, dass die Theile a, b, c, d wie auch ab, bc, cd, u. s. w. 
abc, bed, u. s. w. von links nach rechts identisch sind und dass diese Eigen- 
thümlichkeiten auch von rechts nach links stattfinden. 
1) Um die mathematischen Begriffe festzustellen, können wir sehr wohl auf empirisch 
erworbene Kenntnisse zurückgreifen, ohne clesshalb später in den Definitionen selbst und 
den Beweisen irgend welchen Gebrauch davon machen zu müssen. 
2) Siehe emp. Bern, zu § 1, Theil I. 
a b c d 
A B O D E 
Mg 1. 
a X X' a' 
Mg. 2, a. 
a X a' 
X' 
Mg. 2, b.