XVIII 
Vorrede des Verfassers. 
den, ohne vorher diese Eigenschaft bewiesen oder als Axiom gegeben zu haben. 
So kann die Prop. V, Buch XI nicht als bewiesen angesehen werden ohne das 
Axiom, dass der Anschauungsraum drei Dimensionen hat u. s. w. 
Die Unabhängigkeit der Axiome ferner ist für die Einfachheit der Wissen 
schaft nothwendig. Und in der That, könnte man auch nur eine wenn auch 
intuitive Eigenschaft, die aber von den früheren abhängt, als Axiom geben, so 
würde es erlaubt sein, die Theoreme als augenscheinlich wie Axiome zu be 
trachten. 
Wenn zwei Axiome oder Theile eines Axioms zwei Eigenschaften einer 
gegebenen Figur feststellen, von welchen sich die eine aus der andern ableiten 
lässt, so hat man Grund anzunehmen, dass in abstractem Sinn Figuren existiren, 
für welche nur eine dieser Eigenschaften gilt. Ein solcher Fehler ist z. B. in 
dem Axiom, mit welchem gewöhnlich die Ebene definirt wird, verborgen, dass 
nämlich eine Grade, welche zwei Punkte mit der Ebene gemein hat, in derselben 
liegt. Mittelst dieser Eigenschaft lässt sich die Ebene entweder ganz oder zum 
Theil construiren dadurch, dass man alle Punkte einer Graden mit einem Punkt 
ausserhalb derselben verbindet; die ebene Fläche ist damit vollständig bestimmt 
und ihre Eigenschaften müssen sämmtlich aus ihrer Construction hervorgehen, 
wenn die Elemente dieser Construction genau definirt sind. Das Axiom über 
die Ebene sagt uns dagegen, dass jede andre Grade ausser den bereits betrach 
teten, welche zwei Punkte mit ihr gemein hat, vollständig in ihr liegt. Dies 
ist aber eine Eigenschaft, welche nach den vorhergehenden Betrachtungen aus 
der Construction selbst abgeleitet werden muss. Ist dies nicht möglich, so 
bedeutet dies, dass die Axiome über die Grade oder über das Paar von Graden, 
welche sich schneiden, die Ebene in abstractem Sinn nicht ausreichend be 
stimmen. 
Wir sind zu dem Beiveis dieser Eigenschaft in dem EuclicU sehen System 
durch die Nothwendigkeit veranlasst worden, die Eigenschaft für die Räume 
von mehr als drei Dimensionen beweisen zu müssen, von welchen wir nur die 
Construction haben und bei denen ivir die äussere Anschauung nicht zu Hülfe 
nehmen können. ! ) 
1) Diese Bemerkung über die Unvollkommenheit des Axioms über die Ebene ist nicht 
neu. In einem Brief an Bessel (Göttingen 27. 1. 1829) schreibt Gauss: 
„Seltsam ist es aber, dass ausser der bekannten Lücke in Euclid's Geometrie, die 
man bisher umsonst auszufüllen gesucht hat und nie ausfüllen wird, es noch einen andern 
Mangel in derselben gibt, den meines Wissens Niemand bisher gerügt hat und dem abzu 
helfen keineswegs leicht (obwohl möglich) ist. Dies ist die Definition des Planums als 
einer Fläche, in der die irgend zwei Punkte verbindende gerade Linie ganz liegt. Diese 
Definition, enthält mehr, als zur Bestimmung der Fläche nöthig ist und involvirt tacite ein 
Theorem, welches erst bewiesen werden muss.“ 
Grassmann (a. a. 0. S. 32) erkennt an, dass der Geometrie eine wissenschaftliche Basis 
fehlt, und stellt analoge Betrachtungen über das Axiom bezüglich der Ebene an. Auf S. 34 
sagt er dann sehr richtig: „Wenn ein Grundsatz vermieden werden kann, ohne dass ein 
neuer eingeführt zu werden braucht, so muss dies geschehen und wenn es eine gänzliche 
Umgestaltung der ganzen Wissenschaft herbeiführen sollte, weil durch ein solches Ver 
meiden die Wissenschaft nothwendig ihrem Wesen nach an Einfachheit gewinnt.“ 
Genocchi (Dei principi della meccanica e della geometria. Mem. della Societä italiana 
dei XL. Bd. II. Serie III. 1869, S. 178) bemerkt, die Erzeugung der Ebene mittelst der 
Graden, welche die Punkte einer Graden mit einem Punkt ausserhalb derselben verbinden,