§ 11 lj Extensive und intensive Grösse der Formen und der Grundform. 197 
weil (A¡Aj) = (AÄ) sein muss. Wenn y wächst, so sieht man, dass in der. 
intensiven Grösse A von A unabhängig ist, während man ein immer kleineres 
Segment (AX) erhält; das heisst den gegebenen Elementen des Segments 
(AB) kann man von A aus andre ausserhalb dieses Segments liegende Elemente 
substituiren. Durch dieses Verfahren wird (AX) unbegrenzt klein (d, § 99 
oder e, § 103). Es bleibt mithin immer das unbegrenzt Kleine übrig, von 
welchem die intensive Grösse abhängt, das heisst, sie hängt von der Position 
der Elemente im unbegrenzt Kleinen ab, wenn freilich auch diese Elemente 
für uns unbestimmt sind. Oder mit andern Worten: Lässt man auf die an 
gegebene Art den Elementen der Grundform andre Elemente entsprechen, so 
müssen, damit sich die intensive 'Grösse nicht ändere, zweien unbegrenzt nahen 
Elementen der Grundform zwei unbegrenzt nahe Elemente einer andern oder 
derselben Grundform entsprechen. 
Bern. IV. Es wäre mithin ein Irrthnm, wollte man behaupten, die intensive Grösse 
eines Segments wäre von dem Unterschied in der Position ihrer sämmtlichen Elemente 
unabhängig, weil alsdann bei dem genannten Zusammenhang zweien unbegrenzt nahen 
Elementen zwei ebenfalls unbegrenzt nahe wenn auch unbestimmte Elemente auf der Grund 
form nicht zu entsprechen brauchten. 
g. Ist die intensive Grösse eines Systems mit derjenigen der Grundform 
oder eines TJieils von ihr homogen, so ist das unbegrenzt Kleine des ‘Systems ein 
unbegrenzt Kleines der Grundform. 
Deun die Theile des Systems kann man in Bezug auf ihre intensive Grösse 
durch Segmente der Grundform ersetzen. Die intensive Grösse der Grundform 
aber hängt von dem unbegrenzt Kleinen derselben ab (g) und der intensiven 
Grösse wegen müssen zweien unbegrenzt nahen Elementen der Grundform zwei 
unbegrenzt nahe Elemente derselben oder einer andern Grundform entsprechen, 
wie aus der Definition der intensiven Grösse und dem Beweis des Satzes g 
hervorgeht. Daraus folgt g'. 
Bern. V. Diese Eigenschaft besitzt jedes gegebene Segment, das man aus einer 
Anzahl 7] von Segmenten der Grundform, die nicht in einer dieser Formen liegen, erhält. 
Dabei können diese Segmente in absolutem oder relativem Sinn unbegrenzt abnehmen, 
wenn man nur in dem Gebiet einer einzigen Einheit bleibt. *) 
1) Die Definitionen H. Grassmann’s von extensiver und intensiver Grösse sind den ' 
unsrigen im Grund ähnlich, wenn die seinigen auch dunkel sind. Er sagt (Ausdehnungs 
lehre 1844 S. XXIY): „Die intensive Grösse ist das durch Erzeugung des Gleichen Gewor 
dene, die extensive Grösse oder die Ausdehnung ist das durch Erzeugung des Verschie 
denen Gewordene.“ Diese Sprache ist um so dunkler, als er vorher die Begriffe des Gleichen 
und Verschiedenen nicht vollständig erklärt hat; er macht jedoch seinen Begriff deutlicher, 
indem er sagt, die geometrische Linie sei zwar eine extensive Grösse, könne aber als 
intensive Grösse betrachtet werden, „wenn man von der Art, wie ihre Elemente auseinander 
sind, absieht“. Er versteht unter Element (S. XXVII) einen unbegrenzt kleinen Theil 
(siehe Anm. 8 zu § 97), nicht wie wir ein Ding, welches nicht Theil des Continuums im 
Sinn des Satzes d, § 105 ist (Bern. I, § 76; Bern. IV, § 105), wenn es auch solche Theile in 
sich enthalten kann (Def. I, § 57). 
Nach uns also muss man sagen: Das vornehmste Charakteristicum oder Merkmal der 
Linie wie der übrigen geometrischen Gebilde ist die Verschiedenheit der Position ihrer 
Punkte und mithin ihre extensive Grösse (Def. I); die Linie ist jedoch nicht nur eine 
extensive Grösse; denn sie hat auch eine intensive Grösse. Es ist ferner zu bemerken, 
dass bei Grassmann die extensive und intensive Grösse continuirlich sind (siehe die ange 
führte Anm.), während unsre Definitionen auch für discrete Formen gelten,