Full text: Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt

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222 
Betrachtungen über die Wahl der Grundform. 
[§ 123 
geben muss. Unser Gebiet dagegen hat von Anfang an nur die einzige Eigen 
schaft dass es eine Gesammtheit von Elementen ist und dass, wenn in ihm 
eine besondre Gesammtheit von Elementen von n Dimensionen gegeben ist, 
ausserhalb derselben immer noch ein andres Element existirt (Def. VI, § 13; 
Bern. IV, § 122). 
Unsre Grundform ist (Hyp. IX) unabhängig von dem ganzen übrig 
bleibenden Gebiet und mit ihr construiren wir die andern Formen von einer 
oder mehreren Dimensionen. x ) 
Wollten wir auf diese abstracte Art fortfahren, so müssten wir jetzt die 
Hypothesen in Bezug auf eine oder mehrere Grundformen aufstellen. Das ab 
stracte System, mit welchem wir uns beschäftigen wollen, ist dasjenige, welches 
der Geometrie entspricht. Wir gehen mithin ohne Weiteres zur Behandlung 
dieses Systems über und halten uns dabei die Bedingungen gegenwärtig, denen 
die abstracten geometrischen Hypothesen und Axiome und die rein geometrische 
Methode genügen müssen. 2 ) 
ist desshalb durchaus nicht intuitiv, dass man ohne den Begriff der graden Linie und mit 
dem Zahlencontinuum die Intervalle miteinander vergleichen könne. Zu sagen, man könne 
die Intervalle numerisch durch ein andres Intervall ausdrücken und sie den Zahlen des 
Zahlencontinuums entsprechen lassen, ist eine um so eher mögliche Hypothese, als sie 
durch die schon bekannten Untersuchungen über die Grade bestätigt wird, ist aber eine 
Hypothese, die ohne die Grade sich nicht auf die geometrische Anschauung stützt. Ueber- 
dies muss man im Voraus eine Definition des Raums zu drei (oder n Dimensionen), mit 
dessen Geometrie man sich beschäftigen will, geben, sonst fehlt die Basis zur Construction 
der Ebene und der Graden mittelst der Kugel, wie es der Fall ist, wenn man von dem 
Punktepaar ausgeht (siehe Vorrede und Anh.). 
1) Siehe Vorrede. 
2) Siehe Vorrede.
	        
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