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222
Betrachtungen über die Wahl der Grundform.
[§ 123
geben muss. Unser Gebiet dagegen hat von Anfang an nur die einzige Eigen
schaft dass es eine Gesammtheit von Elementen ist und dass, wenn in ihm
eine besondre Gesammtheit von Elementen von n Dimensionen gegeben ist,
ausserhalb derselben immer noch ein andres Element existirt (Def. VI, § 13;
Bern. IV, § 122).
Unsre Grundform ist (Hyp. IX) unabhängig von dem ganzen übrig
bleibenden Gebiet und mit ihr construiren wir die andern Formen von einer
oder mehreren Dimensionen. x )
Wollten wir auf diese abstracte Art fortfahren, so müssten wir jetzt die
Hypothesen in Bezug auf eine oder mehrere Grundformen aufstellen. Das ab
stracte System, mit welchem wir uns beschäftigen wollen, ist dasjenige, welches
der Geometrie entspricht. Wir gehen mithin ohne Weiteres zur Behandlung
dieses Systems über und halten uns dabei die Bedingungen gegenwärtig, denen
die abstracten geometrischen Hypothesen und Axiome und die rein geometrische
Methode genügen müssen. 2 )
ist desshalb durchaus nicht intuitiv, dass man ohne den Begriff der graden Linie und mit
dem Zahlencontinuum die Intervalle miteinander vergleichen könne. Zu sagen, man könne
die Intervalle numerisch durch ein andres Intervall ausdrücken und sie den Zahlen des
Zahlencontinuums entsprechen lassen, ist eine um so eher mögliche Hypothese, als sie
durch die schon bekannten Untersuchungen über die Grade bestätigt wird, ist aber eine
Hypothese, die ohne die Grade sich nicht auf die geometrische Anschauung stützt. Ueber-
dies muss man im Voraus eine Definition des Raums zu drei (oder n Dimensionen), mit
dessen Geometrie man sich beschäftigen will, geben, sonst fehlt die Basis zur Construction
der Ebene und der Graden mittelst der Kugel, wie es der Fall ist, wenn man von dem
Punktepaar ausgeht (siehe Vorrede und Anh.).
1) Siehe Vorrede.
2) Siehe Vorrede.