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27. 28] Hypothese Y. — Erstes praktisches Axiom oder Postulat Euclid’s. 
285 
dasjenige Euclid'a und Riemanris möglich. Das letztere ist es nur dann, wenn die Grade 
in absolutem Sinn geschlossen ist. ') 
Wir befassen uns daher nicht damit uns für das Euclid'sehe oder Riemann' sche oder 
auch Löbatschewsky'sehe System, falls dieses letztere möglich gemacht wird, zu entscheiden, 
sondern haben uns für die in absolutem Sinn offene Grade oder für die geschlossene 
zu erklären. Theils weil nun die geschlossene Grade mit unsern Hypothesen I IV die 
beiden Systeme Riemann's 1md Euclid'$ in sich schliesst, theils der Anwendungen wegen, 
welche wir speciell von dem ersten System bei dem Studium des letzteren machen, wählen 
wir die folgende Hypothese: 
Hyp. V. Die Grade ist eine geschlossene Linie. XVIn ) 
JDef. II. Das absolute System, welches sich aus der geschlossenen Graden 
ergibt, heisst das absolute System Riemann's,. Wenn man bei der in absolutem 
Sinn offenen Graden durch jeden Punkt ausserhalb derselben nur eine Parallele 
zu ihr ziehen kann, so erhält man- das absolute EiicUd’sehe System. 
Bern, III. Mit unsern Hypothesen I—Y ist das Löbatschewsky'sehe System in abso 
lutem sowenig wie in relativem Sinn möglich. Wir haben anderswo die Gründe angegeben 
(Bern. II, § 18), aus welchen wir uns nur in soweit mit dem absolutem System beschäf 
tigen, als es uns bei dem Uebergang von dem System der verschiedenen endlichen Gebiete 
um einen Punkt und speciell bei dem Uebergang von dem Euclid'achen zu dem Riemann 
schen System und umgekehrt hilft. 
JDef. III. Das System einer Dimension (Ein! Def. I, § 62), das durch die 
Graden gegeben ist, welche die Punkte einer Graden r mit einem Punkt It 
ausserhalb derselben verbinden in Bezug auf die Grade als Element und deren 
Richtungen durch diejenigen der Graden r gegeben sind, heisst Gradenbüschel, 
von welchem R das Centrum und r die Directrix ist. 
Rez. Das Büschel mit dem Centrum Ii und der Directrix r bezeichnen 
wir mit (i?r). 
15. 
Erstes praktisches Axiom oder Postulat Euclid’s. — Richtung der weiteren 
Untersuchungen und die Grundeinheit. 
§ 28. Bern. I. Die früheren Axiome und Hypothesen reichen zwar zur Entwicklung 
der Geometrie des Euclid’schen und Riemann'sehen Systems 'aus, genügen aber nicht um 
zu bestimmen, welchem der beiden Systeme das Gebiet unsrer Beobachtungen entspricht 
oder mit andern Worten welcher Einheit der Graden die auf dem gradlinigen Gegenstand 
für uns wahrnehmbare Einheit entspricht. Eine solche Frage geht die Geometrie an sich 
Nichts an; weil aber andrerseits die Anwendung auf das Studium der Körper ein Haupt 
zweck der Geometrie ist (Def. III und Bern. IY, § 2), so entscheiden wir die Frage durch 
das folgende Axiom, welches dem EiicUd'sehen Postulat entspricht (Def. I, § 27). 
Prakt. Ax. I. In dem Gebiet unsrer actuellen Beobachtungen gilt mit 
sehr grosser Annäherung die Eigenschaft, dass durch einen Punkt nur eine 
einzige Parallele zu einer gegebenen Graden geht. XIX ) 
1) Siehe Vorrede und Kap. III, Buch II in diesem Theil. 
xvm ) Selbstverständlich sind nach dem in Anm. XVI gegebenen Axiom Euclid’s die 
Hyp. I—V nicht nöthig, mag man Ax. II oder IF zu Grunde legen (Anm. IV). 
XIX ) Auch dieser Abschnitt kann nach dem Axiom über die Parallelen in Anm. XVI 
sowohl bei Ax. II als II' wegfallen (siehe Vorrede). 
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