§155] 
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Die Haupteigenschaften des vollständigen Raums. 
von C i verbindet, stellt auf der Ebene B 2 senkrecht, weil in dem Raum 
(B. 2 C 0 ) der Punkt C 0 der Pol der Ebene B. ¿ ist. 
Zus. III. Bie durch ein Element A gehenden Elemente stehen auf dem 
Polarelement Ä senkrecht. 
Penn llne Po lelemente liefen in dem Element A' (Satz V, § 153), sind 
mithin mit A conjugirt und haben mit A wenigstens einen Punkt gemein 
schaftlich. 
Beisp. Die durch einen Punkt gehenden Graden, Ebenen und Räume stehen auf dem 
Polarraum dieses Punktes senkrecht. 
Zus. IV. Bie auf einem Element A senkrechten Elemente, welche nicht mit 
A in demselben Baum S, enthalten sind, gehen durch das Polarelement Ä. 
Denn sie sind dem Element A conjugirt und in dem Element A nicht 
enthalten. 
Beisp. Die auf einem Raum senkrechten Graden, Ebenen und Räume gehen durch 
die Pole dieses Raums. 
Satz III. Jede Grade, welche eine Grade und ihre Polarebene schneidet, 
steht auf beiden senkrecht und umgekehrt trifft jede Grade, welche die Grade (oder 
Ebene) schneidet und senkrecht auf der Graden (oder Ebene) steht, die Ebene 
(oder Grade) in einem Punkt. 
Denn B x , B, seien die Grade und die Polarebene, S ± die Transversale. 
Die Ebene S l B x schneidet die Ebene B 2 in einem Punkt, welcher in der Ebene 
der Pol der Graden B x ist; mithin steht die Grade S L senkrecht auf B v 
Analog schneidet der Raum B , die Grade B L in dem Pol der Ebene iü.^in 
diesem Raum (Satz VII, § 153); daher steht S t senkrecht auf der Ebene B 2 . 
Die Umkehrung des Satzes ist einleuchtend. 
Satz IV. Zivei Bäume haben eine einzige senkrechte Grade gemeinschaftlich. 
Nämlich die Grade, welche die beiden Pole verbindet. 
Satz V. Ein Baum und eine Ebene haben eine senkrechte Ebene und nur 
eine normale Grade gemeinschaftlich, welche beide schneidet. 
Nämlich die Ebene, welche den Pol des Raums mit der Polargraden der 
Ebene verbindet. 
Die Grade, welche die Pole des Raums mit dem Punkt verbindet, in wel 
chem die senkrechte Ebene die gegebene Ebene schneidet, ist das verlangte 
Loth (Zus. III, II, Satz II). 
Satz VI. Ein Baum und eme Grade haben einen senkrechten Baum und 
nur eine senkrechte Grade gemeinschaftlich, welche beide schneidet. 
Nämlich den Raum, welcher die Pole des gegebenen Raums mit der Polar 
ebene der Graden verbindet. Die Grade, welche die Pole des Raums mit dem 
Punkt verbindet, in welchem die gegebene Grade den gemeinschaftlichen nor 
malen Raum schneidet, ist das einzige gesuchte Loth. 
Satz VII. Brei oder vier Bäume haben eine normale Ebene oder einen nor 
malen Baum gemeinschaftlich. 
Nämlich die Ebene oder den Raum, welche durch die Pole der drei oder 
vier Räume bestimmt werden.