Buch II. 
Der Euclid’sche Raum Ton » Dimensionen. 
I. Kapitel. 
Der Euclid’sche Eaum you n Dimensionen. 
1. 
Definition und Constrnction des Sterns (»—2) ter Art und des Raums von 
11 Dimensionen. 
§ 157. Bern. I. Aus der Construction des Sterns zweiter Art also auch, des Raums 
von vier Dimensionen und aus der Untersuchung ihrer Grundeigenschaften leiten wir jetzt 
leicht die Construction der Sterne höherer Art und der Räume einer beliebigen gegebenen 
Anzahl n von Dimensionen ab. 
Der Raum von fünf Dimensionen wird durch einen Raum von vier Dimensionen und 
einen Punkt ausserhalb desselben erzeugt, der Raum von sechs Dimensionen durch einen 
Kaum von fünf Dimensionen und einen Punkt ausserhalb desselben u. s. w., der Raum von 
m Dimensionen durch einen Raum von m — 1 Dimensionen und einen Punkt ausserhalb 
desselben (Def. II und Bern. II, § 2). 
Def. I. Wir bezeichnen im Allgemeinen einen Raum von m Dimensionen 
mit dem Symbol S M . Unter einem Baum von Null Dimensionen verstehen wir 
den Punkt, von einer Dimension die Grade, von zwei Dimensionen die Ebene. 
Bern. II. Die Def. I ist angemessen hinsichtlich der allgemeinen Sätze, die wir be 
weisen werden. Die Grundräume des Raums von n Dimensionen sind der Punkt, die 
Grade, die Ebene, der Raum von drei u. s. w. bis n - 1 Dimensionen. 
Bern. III. Die Hauptsätze, welche wir in den folgenden Paragraphen für den Raum 
von n Dimensionen aufstellen werden, umfassen grossentheils als specielle Fälle die früher 
gegebenen Eigenschaften der Graden, der Ebene und des Raums von drei und vier Di 
mensionen. 
Satz I. Jede Grade, welche zwei Punkte mit einem Baum S rn von m Dimen 
sionen gemeinschaftlich hat, liegt vollständig in diesem Baum. 
Der Beweis ist ähnlich wie bei dem Raum von drei und vier Dimensionen 
(Satz II, § 82 u. § 121), vorausgesetzt dass der Satz, der schon für n = 2 gilt, 
für den Raum S„—i gültig ist (Satz IY, § 46). 
Bern, IV. Wir nehmen an, jeder Ranm S m (m < n) sei die gradlinige von m + 1 
seiner Punkte, welche nicht in einem Raum niedrigerer Dimension liegen, bestimmte 
Figur, wie es bei der Graden, der Ebene, den Räumen von drei und vier Dimensionen der 
Fall ist (siehe Bern. VI).