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Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
analytischem Weg das Princip der neuen Theorie der Parallelen für die Ebene 
wie für den Raum fest und kommt auf verschiedene Art zu den Beziehungen 
zwischen den Theilen eines Dreiecks in dieser Geometrie. Er findet zuerst die 
Function, welche die Rotation um einen Punkt p in einer Ebene P ausdrückt, 
mittelst welcher man von einer gegebenen Graden il 0 zu einer Graden 
übergeht. Aehnlich ist es mit der Rotation einer Ebene des Raums und dem 
Gleiten eines Punktes auf der Graden. Er führt dann den Begriff der idealen 
Punkte einer Graden ein, welche auf ihr durch diejenigen Graden gegeben 
sind, die durch einen Punkt gehen und nicht in dem Winkel des Parallelismus 
bezüglich des gegebenen Punktes enthalten sind ’) und gibt einige wichtige 
Eigenschaften derselben an. 
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Die Idee von Leihniz, die Ebene und die Grade mittelst der Kugel zu er 
zeugen wird von W. Bolyai in einer neuen Richtung in der Exposition der 
Principien der Geometrie entwickelt. *) Da wir seine Publicationen nicht im 
Original haben lesen können, so entnehmen wir einige Notizen dem citirten 
Werk Hoüel’s. 
„Wenn A und B, Ä und B zwei Systeme von Punkten sind, so kann 
man sich denken, dass jedes dieser Systeme einem beliebigen körperlichen 
System zugehöre. Wenn man eine dieser Figuren so auf die andre bringen 
kann, dass, wenn A auf Ä gelegt wird, B mit B' zusammenfallen kann, so sagt 
man, ihre Abstände seien gleich 
Darauf gibt er die Definition der Kugelfläche als der Fläche, deren Punkte 
gleichen Abstand vom Centrum haben. „Eine Kugelfläche trennt den Raum in 
zwei Tlieile, einen inneren und-einen äusseren. Ein Punkt kann nicht von 
dem einen zu dem andern dieser Tlieile übergehen ohne die Kugelfläche zu 
treffen.“ 
„Eine Kugelfläche bewegt sich in sich selbst, wenn man sie um ihr Centrum 
rotiren lässt.“ 
„Zwei Kugelflächen mit verschiedenen Centren können nicht zusammen- 
fallen. Mit einem gegebenen Centrum lässt sich immer eine Kugelfläche be 
schreiben, welche durch einen gegebenen Punkt geht.“ 
„Man kann von einem gegebenen Centrum aus eine Kugelfläche beschreiben, 
welche in ihrem Innern eine beliebige gegebene Figur von endlichen Dimen 
sionen einscliliesst.“ 
„Es seien zwei Kugelflächen S und S' mit den Centren 0 und 0 derart 
gegeben, dass jede durch das Centrum der andern geht, Da ein Theil jeder 
dieser Kugelflächen im Innern der andern liegt, so haben sie nothwendiger Weise 
gemeinschaftliche Punkte. W r enn A einer dieser Punkte ist und mau lässt die 
1) Dieser Winkel ist die Hälfte des Winkels, den zwei von einem beliebigen Punkt 
des endlichen Gebiets der Ebene zu der gegebenen Graden parallel gezogenen Graden mit 
einander machen. Er hängt von dem Abstand des Punktes von der Graden ab. 
2) A. a. 0. und: Kurzer Grundriss eines Versuchs I. die Arithm. u. s. w. II. in der 
Geometrie die Begriffe der gradeu Linie, der Ebene, des Winkels allgemein, der winkel 
losen Formen u. s. w. Maros Vasärhely, 1851.