Full text: Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt

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Merkmale der abstracten und concreten mathematischen b ormen oder Grössen. 
auch noch die Art, wie sie gesetzt oder gegeben werden (§ 9). Die Ordnung zeigt uns, 
ob eine Sache zuerst oder nach einer andern gegeben ist, die Art dagegen zieht die übrigen 
möglichen Verhältnisse der Position in Betracht (Def. VI, § 9 und Def. IV, § 8), von denen 
wir annehmen, dass sie existiren und in dem Begriff der Ordnung nicht enthalten sind. 
Diese Annahme steht mit den früher aufgestellten Sätzen nicht im Widerspruch, da diese 
Verhältnisse der Position unabhängig von den übrigen sein müssen. 
Beisp. 1. Nachdem die Vorstellung A gesetzt ist, wiederhole ich die Vorstellung A 
und dann wieder die Vorstellung A. Wenn man die während jeder Wiederholung ver 
flossene Zeit in Betracht zieht, so erhält man ein in dem Begriff einfacher Reihenfolge und 
Ordnung nicht enthaltenes Positionsverhältniss, da die während der ersten Wiederholung 
verflossene Zeit von der während der zweiten verflossenen verschieden sein kann. 
Beisp. 2. Ich spreche zuerst den Vocal a leise und dann den Yocal e laut aus; die 
Höhe der Stimme liefert ein Positionsverhältniss, das in dem Begriff der Ordnung, in 
welcher ich'die Vocale a und e ausspreche, nicht enthalten ist. 
Wir nehmen ferner an ? dass diese Merkmale mit Hülfe möglicher Hypo 
thesen oder Constructionen bestimmt sind. 1 ) 
l)ef. I. Die geistigen Gegenstände, deren Merkmale das Ganze, die Tlieile, 
die Ordnung und die Art der Position sind oder welche sich mittelst dieser 
Merkmale vergleichen lassen (§§ 8 und 9), heissen abstracte mathematische Farmen 
oder Grössen, auch wenn von einigen der obengenannten Merkmale abgesehen, 
wird (§7). 
Solange jedoch nichts Anderes bestimmt wird, werden wir unter diesen 
Formen solche Dinge verstehen, welche die sämmtlichen in Betracht gezogenen 
Merkmale haben. 2 ) 
1) Wir haben schon in der Vorrede angegeben, welchen Bedingungen eine Hypothese, 
eine mathematische Construction oder ein mathematischer Beweis genügen muss. Hier ge 
nügt logisch die einfache Hypothese, dass solche Verhältnisse ausserhalb des Begriffs der 
Ordnung existiren können. Die angeführten Beispiele sind überflüssig, die Hypothese ist 
nicht von ihnen abhängig. Wir haben vermieden Beispiele aus der Geometrie zu bringen 
gerade um den Gedanken fernzuhalten, als ob die Art, auf welche die Theile in dem 
Ganzen gegeben werden, nothwendiger "Weise von der Vorstellung des Raumes abhängig 
sei. In § 41 kommen wir auch auf Beispiele, die den Körpern und ihren Eigenschaften ent 
nommen sind. 
2) Diese Definition der abstracten mathematischen Formen, gilt selbstverständlich für 
alle diejenigen Formen, welche wir betrachten werden, wir meinen damit aber nicht, dass 
diese Definition absolut sein soll und somit im Voraus das Gebiet der Mathematik ab 
grenze. Wie wir in der Anmerkung zu § 4 bemerkt haben, suchen wir nicht nach Defini 
tionen oder Erklärungen, die für jeden Fall gelten, sondern nur für diejenigen Fälle, welche 
sich uns nach und nach bieten'. JEuclid erklärt nirgends in seinen Elementen den Begriff 
der Grösse, wie er denn überhaupt nicht viele Begriffe erklärt. H. Grassmann nennt 
Grösse ,jedes Ding, welches einem andern Ding gleich oder ungleich gesetzt werden soll“ 
(Lehrbuch der Arithmetik. Berlin 1861. Seite 1). Diese Definition der mathematischen 
Grösse, die auch Stolz (a. a. 0. S. 1) angenommen hat, scheint uns bei dem Sinn, in wel 
chem der Begriff „gleich“ von Grassmann in dem obengenannten Buch verstanden wird, 
zu eng begrenzt, während sie auf der andern Seite im Allgemeinen unbestimmt ist, weil 
nicht gesagt wird, in Bezug auf welche Merkmale sie gleich oder ungleich sind, und weil 
nicht auch hinzugefügt wird, dass sich die Aenderungen in ihrem Zustand, wodurch sie 
zur Vergleichung fähig werden, bestimmen lassen müssen (der Schmerz, das Vergnügen u. s. w. 
sind wenigstens bis jetzt noch keine mathematischen Grössen). Für uns sind diese Merk 
male das Ganze und die Theile, die Ordnung und die Art der Position. Nach Stolz 
(a. a. O. S. 1) heissen alle Dinge, welche mit einem Ding verglichen sind, gleichartige und 
bilden ein Grössensystem. Aber alle Dinge, die wir kennen, lassen sich mit einem gege 
benen Ding vergleichen und gerade aus dem Vergleich geht hervor, ob sie das gegebene 
Ding sind oder nicht (IV, § 8). Es scheint uns daher das System mathematischer gleich 
artiger Grössen auf diese Art nicht gut definirt zu sein (siehe Def. III, § 111). Stolz fügt 
hinzu, dass, weil zwei Dinge nicht in Bezug auf jedes ihrer Merkmale gleich sein können, 
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