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Merkmale der abstracten und concreten mathematischen b ormen oder Grössen.
auch noch die Art, wie sie gesetzt oder gegeben werden (§ 9). Die Ordnung zeigt uns,
ob eine Sache zuerst oder nach einer andern gegeben ist, die Art dagegen zieht die übrigen
möglichen Verhältnisse der Position in Betracht (Def. VI, § 9 und Def. IV, § 8), von denen
wir annehmen, dass sie existiren und in dem Begriff der Ordnung nicht enthalten sind.
Diese Annahme steht mit den früher aufgestellten Sätzen nicht im Widerspruch, da diese
Verhältnisse der Position unabhängig von den übrigen sein müssen.
Beisp. 1. Nachdem die Vorstellung A gesetzt ist, wiederhole ich die Vorstellung A
und dann wieder die Vorstellung A. Wenn man die während jeder Wiederholung ver
flossene Zeit in Betracht zieht, so erhält man ein in dem Begriff einfacher Reihenfolge und
Ordnung nicht enthaltenes Positionsverhältniss, da die während der ersten Wiederholung
verflossene Zeit von der während der zweiten verflossenen verschieden sein kann.
Beisp. 2. Ich spreche zuerst den Vocal a leise und dann den Yocal e laut aus; die
Höhe der Stimme liefert ein Positionsverhältniss, das in dem Begriff der Ordnung, in
welcher ich'die Vocale a und e ausspreche, nicht enthalten ist.
Wir nehmen ferner an ? dass diese Merkmale mit Hülfe möglicher Hypo
thesen oder Constructionen bestimmt sind. 1 )
l)ef. I. Die geistigen Gegenstände, deren Merkmale das Ganze, die Tlieile,
die Ordnung und die Art der Position sind oder welche sich mittelst dieser
Merkmale vergleichen lassen (§§ 8 und 9), heissen abstracte mathematische Farmen
oder Grössen, auch wenn von einigen der obengenannten Merkmale abgesehen,
wird (§7).
Solange jedoch nichts Anderes bestimmt wird, werden wir unter diesen
Formen solche Dinge verstehen, welche die sämmtlichen in Betracht gezogenen
Merkmale haben. 2 )
1) Wir haben schon in der Vorrede angegeben, welchen Bedingungen eine Hypothese,
eine mathematische Construction oder ein mathematischer Beweis genügen muss. Hier ge
nügt logisch die einfache Hypothese, dass solche Verhältnisse ausserhalb des Begriffs der
Ordnung existiren können. Die angeführten Beispiele sind überflüssig, die Hypothese ist
nicht von ihnen abhängig. Wir haben vermieden Beispiele aus der Geometrie zu bringen
gerade um den Gedanken fernzuhalten, als ob die Art, auf welche die Theile in dem
Ganzen gegeben werden, nothwendiger "Weise von der Vorstellung des Raumes abhängig
sei. In § 41 kommen wir auch auf Beispiele, die den Körpern und ihren Eigenschaften ent
nommen sind.
2) Diese Definition der abstracten mathematischen Formen, gilt selbstverständlich für
alle diejenigen Formen, welche wir betrachten werden, wir meinen damit aber nicht, dass
diese Definition absolut sein soll und somit im Voraus das Gebiet der Mathematik ab
grenze. Wie wir in der Anmerkung zu § 4 bemerkt haben, suchen wir nicht nach Defini
tionen oder Erklärungen, die für jeden Fall gelten, sondern nur für diejenigen Fälle, welche
sich uns nach und nach bieten'. JEuclid erklärt nirgends in seinen Elementen den Begriff
der Grösse, wie er denn überhaupt nicht viele Begriffe erklärt. H. Grassmann nennt
Grösse ,jedes Ding, welches einem andern Ding gleich oder ungleich gesetzt werden soll“
(Lehrbuch der Arithmetik. Berlin 1861. Seite 1). Diese Definition der mathematischen
Grösse, die auch Stolz (a. a. 0. S. 1) angenommen hat, scheint uns bei dem Sinn, in wel
chem der Begriff „gleich“ von Grassmann in dem obengenannten Buch verstanden wird,
zu eng begrenzt, während sie auf der andern Seite im Allgemeinen unbestimmt ist, weil
nicht gesagt wird, in Bezug auf welche Merkmale sie gleich oder ungleich sind, und weil
nicht auch hinzugefügt wird, dass sich die Aenderungen in ihrem Zustand, wodurch sie
zur Vergleichung fähig werden, bestimmen lassen müssen (der Schmerz, das Vergnügen u. s. w.
sind wenigstens bis jetzt noch keine mathematischen Grössen). Für uns sind diese Merk
male das Ganze und die Theile, die Ordnung und die Art der Position. Nach Stolz
(a. a. O. S. 1) heissen alle Dinge, welche mit einem Ding verglichen sind, gleichartige und
bilden ein Grössensystem. Aber alle Dinge, die wir kennen, lassen sich mit einem gege
benen Ding vergleichen und gerade aus dem Vergleich geht hervor, ob sie das gegebene
Ding sind oder nicht (IV, § 8). Es scheint uns daher das System mathematischer gleich
artiger Grössen auf diese Art nicht gut definirt zu sein (siehe Def. III, § 111). Stolz fügt
hinzu, dass, weil zwei Dinge nicht in Bezug auf jedes ihrer Merkmale gleich sein können,
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