Full text: Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt

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Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
unbestreitbar wahre und miteinander vereinbare Grundlagen zu stellen und seine 
Methode loben, die den Zweck hat, die Axiome in einfache Theile zu zerlegen, 
wenn er fieilich auch die Gründe nicht angibt, wesshalb er sie für unabhängig 
voneinander hält. Ferner sind in seinem Buch besonders die Kapitel über den 
projectiven Zusammenhang und die Darstellung der Punkte der Graden und der 
anharmonischen Verhältnisse durch Zahlen von Wichtigkeit; eine Theorie, mit 
welcher sich auch Be Paolis beschäftigt hat. 1 ) Das Buch von Pasch ist sowohl 
wegen der Strenge seiner Beweise als wegen der rein elementaren und geo 
metrischen Methode, welche er anwendet, als ein wesentlicher Beitrag zur För 
derung der Frage der Principien der projectiven Geometrie zu betrachten. 
Ein neuer Weg wurde diesen Untersuchungen kurz nach Riemann von 
H. v. Helmholtz, einem der grössten Denker dieses Jahrhunderts, in seiner 
Abhandlung „Fieber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen“, ge 
wiesen. J ) Von einem anschaulicheren Standpunkt als Riemann ausgehend, stellte 
er vier Axiome auf, welche fiir sämmtliche drei Systeme der Geometrie und für 
die Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen, die er Räume nennt, gelten. Er ent 
wickelt dann freilich seine Hypothesen in dem Raum von drei Dimensionen. Die 
erste Hypothese lautet: 
„Der Raum von n Dimensionen ist eine n fach ausgedehnte Mannigfaltig 
keit, das heisst, das bestimmte Einzelne in ihm der Punkt, ist bestimmbar 
durch Abmessung irgend welcher, continuirlich und unabhängig voneinander 
veränderlicher Grössen (Coordinaten), deren Anzahl n ist. Jede Bewegung eines 
Punktes ist daher begleitet von einer continuirlichen Aendermig mindestens 
einer der Coordinaten. Sollten Ausnahmen Vorkommen, wo entweder die Aen- 
derung discontinuirlich wird, oder trotz der Bewegung gar keine Aenderung 
sämmtlicher Coordinaten stattfindet, so sind diese Ausnahmen doch beschränkt 
auf gewisse durch eine oder mehrere Gleichungen begrenzte Orte (also Punkte, 
Linien, Flächen u. s. w.), die zunächst von der Untersuchung ausgeschlossen 
sein mögen. 
Zu bemerken ist, dass unter Continuität der Aenderung bei der Bewegung 
nicht nur gemeint ist, dass alle zwischen den Endwerthen der sich ändernden 
Grössen liegenden Zwischenwerthe durchlaufen werden, sondern auch dass die 
Differenzialquotienten existiren.“ 
Dies ist die erste Hypothese von Helmholtz. Der Unterschied ist nur der, 
dass hier die Idee der Bewegung auftritt, wie man gleich besser sehen wird. 
Helmholtz gibt nicht die Erzeugung der Mannigfaltigkeit, sondern lässt sie ohne 
Weiteres von dem Zusammenhang mit dem Zahlencontinuum abhängen. 
Die zweite Hypothese setzt die Existenz fester und beweglicher Körper voraus 
d. h. solcher Körper, welche während der Bewegung unverändert bleiben, wie 
es, sagt er, nöthig ist, um die Raumgrössen mittelst der Congruenz vergleichen 
zu können. Er gibt die folgende Definition eines testen Körpers: 1 2 
1) Sui fondamenti u. s. w. a. a. 0. 
2) Gott. Nachr. 1808 oder Wissensch. Abh. Bd. II, S. 018. 
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