660 Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
„Zwischen* den 2 n Coordinaten eines jeden Punktpaares, welches einem in 
sich festen Körper angehört, besteht eine von der Bewegung des letzteren un 
abhängige Gleichung, welche für alle congruente Punktpaare die gleiche ist. 
Congruent sind solche Punktpaare, welche gleichzeitig oder nacheinander 
mit demselben Punktpaar des Raums Zusammenfällen können.“ 
Lie hat diese Hypothesen für den Raum von drei Dimensionen präciser 
formulirt. Die erste Hypothese sagt aus, dass Transformationen von der Form 
x = f (x, y, z, a lt a. n ...) 
(A) y' = g> (x, y, z, a 2 , ...) 
z' (x, y, z, a 1} ...) 
möglich sind, worin a x a, ... Parameter, f\ <p und ip analytische Functionen sind, 
deren andre Eigenschaften durch die übrigen Axiome bestimmt werden. 
Bezeichnet man mit co (gc l} y n z 1} x 2 , y i} z. 2 ) eine Invariante des Paares 
zweier Punkte (cc x y l z x ), (x 2 y t Z 2 ), so bedeutet die zweite Hypothese, dass 
man für eine beliebige der Transformationen (A), welches auch das Paar ver 
schiedener Punkte sein möge, die effective Gleichung erhält: 
(B) io (x\, y\, z\, x\, y\ 7 z\) = (o (x lf y lf z l} x if y 2 , z 2 ). x ) 
Unabhängig von der Idee der Bewegung lässt sich die zweite Hypothese 
von Helmholtz nach unsern Betrachtungen über die stetigen Systeme unver 
änderlicher Figuren auf die folgende reduciren: Ist ein System von Elementen 
($) gegeben, von dessen Elementen ein jedes einem Liniencontinuum angehört, 
dem die Eigenschaft der ersten Hypothese zukommt, in der Art jedoch, dass 
zwischen diesen stetigen Liniensystemen ein eindeutiger Zusammenhang der 
selben Ordnung (auch bei der Annahme, dass eines oder mehrere dieser Con 
tinua sich auf ein einziges Element reduciren lässt) besteht, so gibt es zwischen 
den Paaren sich entsprechender Punkte dieselbe Function der Coordinaten, 
welche Abstand der Elemente des Paares heisst. In einem solchen Fall wird 
iß) ein starrer Körper und werden zwei Lagen von (S) congruent genannt. 1 2 ) 
Die dritte Hypothese von Helniholtz setzt die volle Freiheit der Bewegung 
der starren Körper voraus, die darin besteht, dass man jeden Punkt an die 
Stelle eines jeden andern bringen kann oder ohne die Idee der Bewegung: dass 
zwei beliebige gegebene Punkte einer Linie mit den oben genamiten Eigen 
schaften angehören, -wobei man jedoch die Abstände berücksichtigt, welche 
ihn mit den übrigen Punkten des Körpers, dem er angehört, verbinden. 
„Der erste Punkt eines in sich festen Systems ist also absolut beweglich. 
Wenn er festgestellt ist, besteht für den zweiten Punkt eine Gleichung und 
eine seiner Coordinaten wird Function der n — 1 übrigen. Nachdem auch der 
zweite festgestellt ist, bestehen zwei Gleichungen für den dritten u. s. w. Im 
1) Bemerkungen zu v. Helmholtz Arbeit über die Tkatsachen u. s. w. Berichte der 
Ges. d. Wissensch. zu Leipzig. 1886. — Ueber die Grundlagen der Geometrie (ebeuda 
Oct. 1890). 
2) Siehe die Vorr. und die Note II am Schluss.