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Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
Wie man sielit ; behandelt er das Problem nur in der Ebene und man weiss 
nicht, ob die Axiome, welche er bei der Behandlung des Raums gegeben hätte, 
diese Axiome der Ebene sämmtlich oder zum Theil ausgeschlossen haben würden. 
Poincaré hält Geometriesysteme für möglich, welche es nach uns nicht sind, 
so z. B. eine Ebene, in welcher eine um einen Punkt rotirende Grade nicht 
immer die Lage einer andern durch denselben Punkt gehenden Graden annehmen 
kann; wie schon Plein früher bemerkt hat, entspricht dies nicht der Erfahrung 
in unserm Beobachtungsgebiet. 1 ) 
Der berühmte Autor versichert, keines der in den Abhandlungen der elemen 
taren Geometrie gegebenen Axiome habe den Charakter eines Axioms; er hätte 
aber, wie uns scheint, wohl daran gethan, dies näher auszuführen; denn das 
Axiom, welches er zur Unterstützung seiner Behauptung anführt, „zwei Grössen, 
welche einer dritten gleich sind, sind einander gleich“, wird schon seit langer 
Zeit nicht mehr als ein geometrisches Axiom anerkannt. Er benutzt ferner von 
Anfang an zur Feststellung seiner Axiome die Eigenschaften der Flächen zweiten 
Grades, auf welchen er den Angaben Klein's folgend die Begriffe des Abstands 
und des Winkels durch ein Verfahren festsetzt, welches auf reinem Ueberein- 
kommen beruht. 
Es wäre von Interesse, die elementare Geometrie auf diesen Axiomen (mit 
der nöthigen Aenderung für den gewöhnlichen Raum) aufgebaut zu sehen; man 
könnte dann beurtheilen, ob sie jenen Charakter geometrischer Axiome haben, 
den er z. B. allen Axiomen JEuclid’s nicht zugesteht. 
Wir wollen nun einige Bemerkungen über die Axiome Ii. Grassman’s und 
V. Schlegel's machen, 
Grassmann gibt in seiner Ausdehnungslehre von 1844 das folgende Axiom 1 2 ): 
„Der Raum ist an allen Orten und nach allen Richtungen gleichbeschaffen 
d. h. an allen Orten und nach allen Richtungen können gleiche Constructionen 
vollzogen werden.“ 
Oder auch: 
1) „Es ist eine Gleichheit denkbar bei Verschiedenheit des Ortes; 
2) Es ist eine Gleichheit denkbar bei Verschiedenheit der Richtung und 
namentlich auch bei entgegengesetzter Richtung.“ 
Indem er gleiche und gleichläufige Constructionen diejenigen nennt, welche 
sich auf dieselbe Art an verschiedenen Orten ergeben, absolut gleiche diejenigen, 
welche nur durch den Ort und die Richtung sich unterscheiden, und gleiche und 
ungleichläufige diejenigen, welche auf dieselbe Art an verschiedenen Orten und 
in verschiedener Richtung erzeugt werden, bringt Grassmann sein Axiom auch 
in die folgende Form: 
1) „Was durch gleiche und gleichläufige Constructionen erfolgt, ist wieder 
gleich und gleichläufig. 
1) Math. Ann. Bd. 4, S. 590. — Siehe auch unsre Vorrede. 
2) Seite 35 u. ff. 
Veronese, Geometrie. 
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