684 Ueber die Definitionen von Kaum und Geometrie von n Dimensionen u. s. w. 
angemessenen Grenzen bewegt, und die Absicht zu loben, eine möglichst grosse 
bindende Strenge in den Erörterungen zu erreichen. Wir warten, bis er bei 
seiner Geschicklichkeit in dem logischen Calcül so wichtige Resultate erzielt, 
dass das Aufgeben der gewöhnlichen Sprache gerechtfertigt erscheint, welche 
bis jetzt noch wissenschaftlich wie beim Unterricht grosse Vortheile vor dem 
System der bisher bekannten logischen Zeichen voraus hat. 
Note I. 
Ueber die Definitionen von Raum und Geometrie von n Dimensionen nnd das 
Princip des Projicirens und Schneidens. 
Wir halten es für angemessen zu zeigen, wie sich der Begriff der Geometrie 
von mehr als drei Dimensionen entwickelt hat, damit man mit Hülfe unsrer 
Vorrede und des Textes beurtheilen kann, welche Stelle unsre Arbeiten und 
diejenigen, welche derselben Richtung folgen, bei diesen Untersuchungen eiu- 
nehmen, um so mehr weil der Charakter dieser Arbeiten und der von ihnen 
erreichten Erfolge nicht immer richtig verstanden worden ist. 
Wir beginnen vor Allem mit den Definitionen. Es ist schwer ausfindig 
zu machen, AVer zuerst die Idee eines Raums von drei Dimensionen, welcher in 
einem Raum von vier Dimensionen enthalten ist, gehabt hat. Nach der Vor 
rede scheint es Kant gewesen zu sein. 1 ) So wird in einer Schrift über den 
barycentrischen Calcül von Möbius darauf liingewiesen, dass man um zwei sym 
metrische Figuren des gewöhnlichen Raums aufeinanderzulegen einen Raum von 
vier Dimensionen nöthig haben würde; er fügt aber hinzu, dass ein solcher 
Raum nicht gedacht werden könne. 1 2 ) 
Die metaphysische Hypothese der materiellen Existenz des Raums von vier 
Dimensionen ausser uns und unabhängig von uns ist ausdrücklich in dem 
erwähnten Werk von Zöllner enthalten, welcher mit ihr, wie wir bemerkt 
haben, gewisse spiritistische Experimente erklären will. Hier befinden wir uns 
aber noch nicht in der Geometrie; denn dieser unbestimmten Idee eines ma 
teriell in einem andern enthaltenen Raums fehlt eine klare und rein geome 
trische Definition dieses Raums, die den geometrischen Deductionen zur Grund 
lage dienen könnte. Ueberdies hat, wie wir in der Vorrede ausführten, der 
Raum von mehr als drei Dimensionen nicht nöthig irgend etwas Entsprechen 
des in der äusseren Welt zu besitzen. 
Die erste allgemeine Definition der Mannigfaltigkeiten von Elementen von 
mehr als drei Dimensionen hat wie schon erwähnt H. Grasstnann in seiner 
Ausdehnungslehre gegeben. Er sagt: 
1) Wie J?. Zimmermann in seiner Schrift: Henry More und die vierte Dimension des 
Raumés. Sitz.-Ber. der phil.-hist. Classe der Königl. Ac. Wien, 1881 berichtet, hat zwar 
der englische Philosoph More aus dem 17. Jahrhundert der Geisterwelt vier Dimensionen 
zuertheilt, aber niemals von einem Raum von vier Dimensionen gesprochen. 
2) Baryc. Calcül. Leipzig, 1827. Oder Math. Werke. Bd. 1.