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colore il segno di separazione delle parti « e a possiamo supporlo apparte
nente all’oggetto stesso.
Un altro esempio. Tagliamo un filo linissimo nel posto indicato da X con
la lama sottilissima di un coltello e stacchiamo le due parti a e d (fig. 1, a), e
supponiamo che si possa poi ricomporre il filo senza che si osservi il posto
ove avvenne il taglio (fig. 1, c), in altre parole come se nessuna particella del
ilio andasse perduta; il che si ottiene apparentemente guardando il filo così
ricomposto in certa lontananza da esso. Osservando ora la parte a da destra
verso sinistra come indica la freccia della fig. 1, & sopra a\ ciò che si vede
della parte tagliata non è certamente parte del filo, come ciò che si vede di
un corpo non è parte del corpo stesso. Analogamente succede se si guarda la
parte d da sinistra verso destra. Se il segno X di separazione della parte a
da d supposto appartenente al filo stesso fosse parte di esso, guardando a da
destra verso sinistra non si vedrebbe tutta questa parte, mentre ciò che se
para la parte a da d è soltanto ciò che si vede nel modo suindicato, quando
si suppone poi ricomposto il filo 1 ).
L’ipotesi che il punto non è parte del continuo rettilineo (e nemmeno
ha parti in sé 2 ) vuol dire che tutti i punti che possiamo immaginare in esso,
per quanti siano, non costituiscono uniti insieme il continuo, e scelta una
parte (XX') piccola quanto si vuole dell’oggetto (fig. l a a) (per il tempo un
istante) e per quanto indeterminata vale a dire senza che X e X' siano fissi
nel nostro pensiero l’intuizione ci dice che essa è sempre contìnua.
Scorrendo poi coll’occhio da destra verso sinistra, o viceversa, vediamo che
ogni punto occupa una posizione determinata sull’oggetto rettilineo, e a co
minciare da un dato punto non lo incontriamo più nè da destra verso sini
stra nè da sinistra verso destra, vale a dire l’oggetto rettilineo non ha nodi.
Vediamo inoltre che una parte per quanto piccola ad es. quella indicata
da un trattino X apparentemente indivisibile (fig. 1, e) è limitata alla destra e
alla sinistra da parti del continuo, e quindi da due punti. E siccome una parte
costante limitata da due punti e indivisibile rispetto ad un’ osservazione, può
non esserlo rispetto ad altra osservazione, così siamo indotti anche sperimen
talmente ad ammettere che ogni parte limitata da due punti che rimangono
sempre gli stessi nelle nostre considerazioni, sia pure divisibile in parti.
Di più se consideriamo l’oggetto rettilineo da A verso destra possiamo
ammettere che la serie di parti abcd ecc. in questo ordine sia illimitata (def. II,
32), perchè dall’esperienza ripetuta siamo indotti a ritenere che, se non l’og
getto rettilineo il luogo però da esso occupato nell’ambiente esterno sia parte
di un tutto illimitato. Così da destra verso sinistra.
Inoltre tra due punti anche indeterminati di posizione X e X' ma che non
coincidono (def. V, 8) vi è sempre una parte continua. E poiché il continuo è
1) Vediamo dunque che l’idea del punto che non è parte del continuo ò tutt’altro che una pura
astraz’one, che non trovi giustificazione nell’esperienza stessa. Certo che facciamo uso della nostra
facoltà di astrarre, ma è impossibile specialmente in matematica di non farne uso. È quindi per lo
meno inutile anche regolandosi secondo l’osservazione di ammettere che il punto sia il minimo sen
sibile dell’empirista come fa il sig. Pasch (Vedi pref. e appendice).
2) Noi non avremo però bisogno per lo svolgimento teorico della geometria di stabilire che il punto
non ha in sè parti. Dicendo «in sè» non Intendiamo dire ciò che è una cosa indipendentemente da
poi, ma ciò epe è nella sua rappresentazione mentale (4),