Full text: Fondamenti di geometria a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee esposti in forma elementare

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colore il segno di separazione delle parti « e a possiamo supporlo apparte 
nente all’oggetto stesso. 
Un altro esempio. Tagliamo un filo linissimo nel posto indicato da X con 
la lama sottilissima di un coltello e stacchiamo le due parti a e d (fig. 1, a), e 
supponiamo che si possa poi ricomporre il filo senza che si osservi il posto 
ove avvenne il taglio (fig. 1, c), in altre parole come se nessuna particella del 
ilio andasse perduta; il che si ottiene apparentemente guardando il filo così 
ricomposto in certa lontananza da esso. Osservando ora la parte a da destra 
verso sinistra come indica la freccia della fig. 1, & sopra a\ ciò che si vede 
della parte tagliata non è certamente parte del filo, come ciò che si vede di 
un corpo non è parte del corpo stesso. Analogamente succede se si guarda la 
parte d da sinistra verso destra. Se il segno X di separazione della parte a 
da d supposto appartenente al filo stesso fosse parte di esso, guardando a da 
destra verso sinistra non si vedrebbe tutta questa parte, mentre ciò che se 
para la parte a da d è soltanto ciò che si vede nel modo suindicato, quando 
si suppone poi ricomposto il filo 1 ). 
L’ipotesi che il punto non è parte del continuo rettilineo (e nemmeno 
ha parti in sé 2 ) vuol dire che tutti i punti che possiamo immaginare in esso, 
per quanti siano, non costituiscono uniti insieme il continuo, e scelta una 
parte (XX') piccola quanto si vuole dell’oggetto (fig. l a a) (per il tempo un 
istante) e per quanto indeterminata vale a dire senza che X e X' siano fissi 
nel nostro pensiero l’intuizione ci dice che essa è sempre contìnua. 
Scorrendo poi coll’occhio da destra verso sinistra, o viceversa, vediamo che 
ogni punto occupa una posizione determinata sull’oggetto rettilineo, e a co 
minciare da un dato punto non lo incontriamo più nè da destra verso sini 
stra nè da sinistra verso destra, vale a dire l’oggetto rettilineo non ha nodi. 
Vediamo inoltre che una parte per quanto piccola ad es. quella indicata 
da un trattino X apparentemente indivisibile (fig. 1, e) è limitata alla destra e 
alla sinistra da parti del continuo, e quindi da due punti. E siccome una parte 
costante limitata da due punti e indivisibile rispetto ad un’ osservazione, può 
non esserlo rispetto ad altra osservazione, così siamo indotti anche sperimen 
talmente ad ammettere che ogni parte limitata da due punti che rimangono 
sempre gli stessi nelle nostre considerazioni, sia pure divisibile in parti. 
Di più se consideriamo l’oggetto rettilineo da A verso destra possiamo 
ammettere che la serie di parti abcd ecc. in questo ordine sia illimitata (def. II, 
32), perchè dall’esperienza ripetuta siamo indotti a ritenere che, se non l’og 
getto rettilineo il luogo però da esso occupato nell’ambiente esterno sia parte 
di un tutto illimitato. Così da destra verso sinistra. 
Inoltre tra due punti anche indeterminati di posizione X e X' ma che non 
coincidono (def. V, 8) vi è sempre una parte continua. E poiché il continuo è 
1) Vediamo dunque che l’idea del punto che non è parte del continuo ò tutt’altro che una pura 
astraz’one, che non trovi giustificazione nell’esperienza stessa. Certo che facciamo uso della nostra 
facoltà di astrarre, ma è impossibile specialmente in matematica di non farne uso. È quindi per lo 
meno inutile anche regolandosi secondo l’osservazione di ammettere che il punto sia il minimo sen 
sibile dell’empirista come fa il sig. Pasch (Vedi pref. e appendice). 
2) Noi non avremo però bisogno per lo svolgimento teorico della geometria di stabilire che il punto 
non ha in sè parti. Dicendo «in sè» non Intendiamo dire ciò che è una cosa indipendentemente da 
poi, ma ciò epe è nella sua rappresentazione mentale (4),
	        
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