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§ 2. 
Elemento fondamentale — Elementi e forme differenti di posizione e 
coincidenti in senso assolato o relativo. Leggi di determinazione 
oppure di esistenza o di costruzione delle forme. 
56. Ripigliamo le nostre considerazioni sulle forme astratte. 
Conv. I. Il gruppo ordinato abc=a(bc)=(ab)c (III, e a, 29) ha per parti a, b, 
c; ab, bc (def. II, 27). Siccome è contrassegno di questo gruppo il modo con 
cui è posto a rispetto a bc e perciò anche la parte ab rispetto alla parte 
bc (def. I, 38), così conveniamo di dire che il gruppo abc si ottiene anche unendo 
la parte bc alla ab anziché dire che esso si ottiene dall’ unione di bc ad a (III, 
29). Con questa operazione b deve essere considerato però una sola volta. Diremo 
che b serve di separazione o di unione della parte ab dalla o colla parte bc 
nel tutto. 
Così se si ha una serie di forme ...,abcd....mn....cc.... illimitata conveniamo 
di dire che il gruppo ordinato che ne risulta (def. I, 26 e oss. 28) si ottiene an 
che dall’unione della parte illimitata o limitata alla parte limitata 
o illimitata (....abcd....m) (a, 40) in modo però che la forma comune alle due 
parti deve essere considerata una volta sola. 
Se finalmente si considera il punto come parte indefinitamente piccola nello stato cioè di indeter 
minata piccolezza, allora ad ogni numero reale corrisponde un punto senza assioma speciale. L’intui 
zione spaziale ci dice in fondo che se (.4) é la forma astratta corrispondente al luogo occupato dal 
l’oggetto rettilineo non vi è nessun’altra forma astratta (B) della stessa natura di (A) di cui una 
parte separi due parti consecutive di (A) (22, 24). Dire che la retta potrebbe essere discontinua e 
data da tutti i punti considerati senza parti, che rappresentano ad es. a cominciare da una data 
origine tutti i numeri algebrici, è ammettere per sò un fatto che ripugna all’intuizione, e cioè che 
la forma astratta corrispondente alla retta appartenga ad un altra forma astratta possibile che com 
prende in sè tutti i numeri reali, i cui elementi (che in essa sono parti, a, 27) separino quelli della 
prima. E non solo in conformità a questo principio siamo costretti ad ammettere che a cominciare 
da un punto della retta tutti gli altri punti rappresentino i numeri reali, ma ad ammettere altresì vi 
siano in essa punti che corrispondano eventualmente ad altri possibili numeri compresi fra i nu 
meri reali, rimanendo intatte le altre proprietà caratteristiche della retta. Osservo ancora che noi 
consideriamo la parte indefinitamente piccola indipendentemente dalla distinzione di numeri razio 
nali e irrazionali, e che sarebbe per noi molto più arbitraria e incerta l’ipotesi che non tutte que 
ste parti contengano almeno un punto oltre gli estremi. Di più, se si ha un proiettile che dal punto 
A vada a colpire il punto B in linea retta, dividendo il cammino di esso nella serie di parti 
JL ± + JL i_ i JL + 1 
O > O I 09 ’ O I g2 ' 
22’ 
23’-” 
e se noi l’accompagniamo nella serie di queste parti non vediamo col pensiero uscire mai la punta 
del proiettile dalla serie stessa. Ma abbiamo però d’ altra parte la rappresentazione del fatto che il 
proiettile colpisce il punto B, il quale è il limite a cui giunge la punta del proiettile, e {AB) è il limila 
della serie suddetta, nel senso cioè che finché la punta X del proiettile rimane nella serie si avvi 
cina indefinitamente al punto B, ossia (XB) diventa piccola quanto si vuole. Cosi se si ha una serie 
di parti consecutive sempre crescenti sulla retta stessa, senza che essa a partire da un punto A oltre 
passi un dato punto В nei campo della nostra osservazione, per rappresentarci tutta questa serie ab 
biamo bisogno di uscire colla rappresentazione dalla serie e di rappresentarcela limitata ad un altro 
punto C compreso fra Дев ma fuori delia serie, se (AB) stesso non è il limite della serie. E anche in 
questo caso ripugnerebbe all’ intuizione l’ipotesi contraria. Si noti inoltre che l’intuizione è certo 
essenziale per la geometria, sebbene essa non debba entrare come elemento necessario sia nell’ enun 
ciato delle proprietà о delle definizioni sia nelie dimostrazioni (vedi pref.). 
Che vi siano sistemi discontinui di punti i quali soddisfino a tutte le proprietà dello spazio date 
dall’esperienza a quanto sappiamo non è stato ancora dimostrato; ma in ogni caso ciò non direbbe 
ancora nulla contro la continuità delle spazio. 
Per quali ragioni poi non si abbia a porre a base dei fondamenti della geometria il continuo nu 
merico veggasi la prefazione e l’appendice e il n. 123 di questa introduzione. — (V .di anche 2 nota 
n, 97 e 2 nota n. 96).