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b. Un gruppo di un numero infinito ( oo ) di elementi distinti (X) compreso 
in un segmento dato (AB) ha sempre almeno un elemento limite rispetto all’ u- 
nità di misura. 
Se A non è limite di (X) significa che vi sono segmenti (AY) di (AB) che 
non contengono infiniti elementi X (def. I). Se uno degli elementi Y, ad es. Y v 
non è limite di (X) vi è un segmento (AY 2 )> (AYfi che non contiene infiniti 
elementi di (X). Se nessuno degli elementi Y è limite di (.¥), la serie (AY) in 
(AB) è sempre crescente e quindi ha un segmento limite (AC) (d, 97). L’e 
lemento C è limite del gruppo X, altrimenti se in un segmento (CC) nel verso 
di (AB) non vi fossero infiniti elementi X, (AC) sarebbe uno stato di (AY) con 
tro d, 97. 
L’elemento limite può appartenere al gruppo stesso. 
V. Una serie di elementi (X n ) sulla forma fondamentale tale che il seg 
mento (X n X n+r ) coll’aumentare di n diventa indefinitamente piccolo ha un 
solo elemento limite rispetto all’unità di misura. 
Difatti deve essere contenuta a partire da un elemento X n in un dato verso 
in un segmento (X n B) altrimenti (X n Xn+r) non diventerebbe indefinitamente 
piccolo. In questo segmento vi è un numero infinito ( co ) di elementi X, ap 
punto perchè (X n X n +r) diventa indefinitamente piccolo, e quindi (X n ) ha un 
elemento limite. Non può avere che un solo elemento limite in questo caso perchè 
n diventa indefinitamente grande una sola volta, cioè la serie (X n ) è illimi 
tata di I a specie (def. Ili, 39), e quindi (X n X n + r ) diventa indefinitamente pic 
colo una sola volta. 
§ 8. 
Scomposizione di un segmento finito in n punti uguali — Legge'¡com 
mutativa, della somma di due o più segmenti consecutivi — Il 
segmento (AB) è identico allo stesso segmento percorso nel verso 
opposto rispetto all’ unità finita — Elementi limiti del gruppo 
di elementi ottenuto colla divisione successiva di un segmento 
in n parti uguali — Altre proprietà degli elementi limiti dei 
gruppi rispetto ad un’ unità. 
99. a. Se il segmento (XjX'j), o (X'jXj), dato da due segmenti (AXf), (fiX’,) 
diventa indefinitamente piccolo, il segmento dato dai secondi estremi dei mul 
tipli di (fiXj) e (AX'\), secondo lo stesso numero n diventa pure indefinitamente 
piccolo . E inversamente. 
Sia (AX'^XAXj); si ha: 
11) (AX\)n>(AXf)n (d, 79) 
e indicando con X n e X n i secondi estremi di questi multipli si ha: 
( AX' n ) > ( AX n ) 
in modo dunque che X n cade nel segmento (4X'„) (def. I, 6!; d, 68, b, 36). 
Dato un segmento (AO) qualunque il suo multiplo secondo un numero dato nel 
suo verso a partire da A è determinato ed unico (a, 72 e d', 79). Si viene