248 
Def. IV. Tutta la figura determinata dalle rette passanti pel punto S, la 
chiameremo campo finito assoluto intorno al punto S (int. def. IV, 92) '). 
22. Ip. Ili Nel campo finito assoluto intorno ad un punto S 
valgono gli assiomi II, b, III, IV e V. 
Oss. I. Noi partiamo dal campo finito rispetto all’ unità fondamentale s che cor 
risponde all’ unità sensibile per la quale abbiamo dati gli assiomi (oss. I, 21). Am 
mettendo fi ip. Ili, essa non viene a contraddire alla validità di questi assiomi nel 
campo suddetto. Coll’ass. 11,6 valevole in senso assoluto non è escluso che le rette 
distinte passanti per S nel campo dell'unità s non siano coincidenti rispetto ad 
un’unità infinita o infinitesima. E escluso però che lo siano in senso assoluto per 
1' ip. II stessa, e quindi la prima parte dell’ass. II, 6 che ha luogo nel campo del 
l’unità s, relativamente a questa unità potrebbe non valere in un campo infinitesimo 
o infinito. 
Sussistendo gli ass. Ili, IV e V in senso assoluto, a maggior ragione valgono nel 
campo finito di un’unità, sia perchè l’uguaglianza assoluta ci dà anche l’uguaglianza 
relativa (int. def. Ili e IV, 9), come del resto si vede esaminando gli assiomi III e V, 
sia, per il IV; perchè quando un segmento diventa indefinitamente piccolo in senso 
assoluto tale diventa pure in senso relativo (int. def. II. 100 e def. I, 95). 
Come l’ip. I si può ritenere compresa nell’ass. II, et (oss. II, 18) l’ip. III, in quanto 
riguarda gli ass. Ili, IV e V, può ritenersi compresa in questi assiomi, quando si con 
siderino in senso assoluto, e non come abbiamo fatto noi tacitamente in senso re 
lativo (oss. IV, 4). Così anche per l’ass. II, b; soltanto che alla prima parte di esso bi 
sognerebbe aggiungere che vale anche nel campo relativamente ad un’ unità s in 
conformità a quanto abbiamo detto precedentemente. 
Avremmo potuto dunque trattare addirittura la geometria in senso assoluto in 
cludendo le ip. I, II e III nei rispettivi assiomi. 
Teor. I. Ogni punto X deve essere situato in uno dei campi finiti intorno 
al punto S. 
Difatti scelta una retta pel punto S, se X è fuori di questa retta, esso de 
termina con S la retta (ass. II, b e ip. III). 
Teor. IL Dice punti X e Y qualunque appartengono ad un campo finito 
intorno ad S. 
Difatti passano per essi due rette SX, SY, e se (NY) (SX) (def. I, II, 6) 
basta cosiderare come unità del campo finito il segmento (SY) (oss. II, 21). 
Oss. II. In senso assoluto sussistono colle stesse dimostrazioni il teor. VI, 4 e i 
suoi corollari, il teor. VII, IX e X; il teor. Vili è conseguenza dell’ip. II. 
Teor. III. Se due lati di un triangolo sono finiti e il terzo è infinitesimo, 
i due primi lati sono uguali rispetto a qualunque unità, e coincidono rispetto 
all’unità finita ed ogni unità infinita. 
Siano ABC i vertici del triangolo, (AC) il lato infinitesimo. Rispetto al 
l’unità finita A e C coincidono, perchè (AC) è trascurabile rispetto ad ogni 
segmento finito (teor. V, 19). 
Ma A e B determinano una sola retta, altrimenti i tre punti ABC non 
formerebbero un triangolo (def. Il, 9 e teor. VI, 4 e oss. II); e poiché A e C 
coincidono rispetto all’unità finita, rispetto alla medesima unità coincidono 
anche i segmenti (AB), (AG), che perciò sono uguali rispetto ad essa. 
1) Vedi oss. I, 19 e int oss. IV, 92.