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infinitesima, nel qual caso non varrebbe la prima parte dell’ ass. II, 6 nel campo 
finito intorno ad S rispetto all’ultima unità, noi possiamo scegliere un’ipotesi 
che lasci inalterata la prima parte dell’ass. II, b nel campo di ogni unità in 
torno al punto S, e nello stesso tempo non contraddica alle ipotesi precedenti, che 
è quanto dire agli assiomi dati dalle ipotesi precedenti in ogni campo finito intorno 
ad S. Dappoiché abbiamo veduto (oss. 1,22) che rette distinte intorno ad S in un campo 
finito non possono coincidere in senso assoluto in ogni campo infinito o infinitesimo, 
così la ipotesi che si presenta spontanea alla mente, in conformità alla suddetta con 
dizione, è la seguente : 
Ip. IV. Due rette distinte qualunque in un campo finito in 
torno ad un punto e passanti per S sono distinte anche in ogni 
campo infinito o infinitesimo rispetto all’unità di questi campi, 
e inversamente. 
Oss. II. Noi supponiamo che il campo finito intorno ad S sia quello di unità 
fondamentale s, rispetto alla quale vale la prima parte dell’ass. II, b (oss. I, 21). 
L’ip. IV non contraddice alle ip. I e II, perchè la prima riguarda la retta in sé; e la 
seconda viene confermata dall’ipotesi stessa perchè dalla II deriva appunto la pro 
prietà dell’ip. IV in senso assoluto (oss. I, 22); essa non contraddice all’ip. Ili ri 
guardo all’ass. II, b, perchè anzi da essa si deduce che l’ass. 11,6 vale in ogni campo 
intorno ad S, ed anche, come vedremo, intorno ad ogni altro punto rispetto a qua 
lunque unità (teor. II, 31); essa non contraddice infine all’ip. Ili in quanto riguarda 
gli ass. III, IV e V, perchè questi trovano anzi mediante l’ip. IV la loro applica 
bilità anche nei campi infiniti e infinitesimi. 
Teor. I. Il campo finito intorno acl un punto A rispetto ad un'unità è il 
campo finito intorno a qualunque altro punto B di esso e rispetto alla stessa 
unità 1 ). 
Basta dimostrare che i punti a distanza finita da A sono a distanza fi 
nita fra loro se non coincidono rispetto all’unità data. Siano B e C due di 
questi punti. Se sono in linea retta con A, la distanza (BC) è finita, poiché la 
differenza (BC) dei due segmenti finiti (AB) e (BC) è finita, se B e C non 
coincidono (int. h, 85). Se B e C non sono in linea retta, ciascuno di essi 
determina con A una retta, ed anche fra loro (coroll. I, teor. VI, 4 e oss. II, 
22), e formano quindi con A un triangolo (def. II, 9). Ma essendo (AB) e (AC) 
finiti, (BC) non può essere infinito (coroll. I, teor. I, 19). 
Anche se le rette passanti per A coincidessero rispetto all’unità del 
campo suddetto (il che come vedremo in seguito non è), il teorema varrebbe 
ugualmente. 
Coroll. I. Se la retta è chiusa e si prende come unità di misura l'intera 
retta o una parie finita di essa, il campo finito è tale per ogni punto dato. 
Perchè ogni punto (dello spazio generale) è un punto di una retta almeno 
passante per un punto dato A (oss. II, 22). 
Teor. II. Il campo all’ infinito intorno ad un punto A e di qualunque or 
dine è il medesimo rispetto a qualunque punto del campo finito del punto dato. 
1) Rimanendo nel campo finito bisogna ammettere fin da principio come ho detto l’assioma Ar 
chimede pei segmenti rettilinei (nota IV)). Qui vediamo in fondo che basta ammetterlo per le rette 
contenenti un punto A, per dimostrarlo poi per quelle passanti per un altro punto B qualunque del 
campo finito appoggiandosi sulla considerazione degli infiniti e degli infinitesimi.