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come non sappiamo ancora se Tip. IV valga incondizionatamente per ogni coppia di 
rette passanti pel punto X rispetto all’unità (SX) e alle unità infinite Q; ma finché 
non dimostreremo questa proprietà intenderemo, quando parleremo di campi infinite 
simi senz’altro, di riferirci sempre per ora a quelli del punto S che ancora per l’ip. 
IV è un punto speciale rispetto agli altri punti. 
Teor. V. Se clue punti qualunque B e C non determinano in senso asso 
luto la retta non la determinano neppure in senso relativo all' unità (BC). 
In ogni retta passante per B e C, B e C determinano segmenti uguali in 
senso assoluto (oss. Il, 22; ip, III e teor. IV, 11). In una retta passante pel pun 
to S consideriamo un segmento (SC')~(BC). Qualunque sia l’unità (SC), nel 
campo di questa unità intorno ad S e relativamente ad essa vi sono rette di 
stinte passanti per <5 (oss. I, 21 e ip. IV), e a maggior ragione distinte in sen 
so assoluto (int. def, III e V, 58); esse passano dunque per C (oss. II, 22 e 
teor. VI, 4). Per conseguenza S e C non determinano la retta rispetto all’u 
nità (SC) (oss. I, 4), e perciò anche B e C relativamente all’unità (BC) (oss. II, 
22, teor. VII, 4 ; ip. Ili e teor. I, 8). 
Teor. VI. Due punti distinti qualunque della retta aperta, o appartenenti 
ad un campo infinitesimo della retta chiusa rispetto all’ intera retta come unità, 
determinano la retta in senso assoluto. 
Soltanto due punti opposti in senso assoluto nel caso della retta chiusa 
possono non determinare la retta. 
Se i e Y sono i due punti dati, essi appartengono ad un campo finito 
del punto S (teor. II, 22). Se essi non determinassero la retta in senso assoluto 
non la determinerebbero neppure rispetto all’ unità (XY) (teor. V), il che è as 
surdo (teor. I e II, 14). 
Relativamente all’unità della stessa specie dell’intera retta (int. def. I, 
94) sappiamo che due punti opposti possono non determinare la retta (teor. II, 
14). Se due punti in senso assoluto non determinano la retta non possono ap 
partenere ai campi infinitesimi di due punti A e B che non sono opposti ri 
spetto all’unità suddetta, perchè per questi punti passerebbero più rette di 
stinte anche rispetto a quella unità (teor. IV e V). Dunque se due punti in senso 
assoluto non determinano la retta, essi devono essere nei campi infinitesimi 
di A e A', essendo Á opposto di A. Supponiamo dunque che vi sia un punto 
A" in un campo infinitesimo di ordine n intorno ad A' sulla retta, e differente 
da A e che non determini con A la retta. Consideriamo il segmento (A"A"') — 
(AA') nel verso A A" A' (int. d, 64); il punto A" appartiene al campo infini 
tesimo dello stesso ordine intorno ad A, perchè (AA), (AA') differiscono di 
un infinitesimo d’ordine n, e la differenza dei segmenti doppi è quindi un in 
finitesimo dello stesso ordine, essendo essa doppia della differenza primitiva (int. 
d, 104 e i, 82 e b', 86). Ma A e A" dovrebbero non determinare la retta (teor. 
VI, 4 e oss. II, 22), il che per quanto si è dimostrato precedentemente è 
assurdo. 
Teor. VII. Punti distinti all’ infinito di una retta del campo finito danno 
rette coincidenti col punto S rispetto all’ unità finita, purché nel caso della 
1) Vedi teor. IX del 4. 31.