256 
Nel caso della retta aperta (CD) non può essere infinito (teor. I, 20) ma 
deve essere almeno infinitesimo, perchè le due rette SZ M , SZ' X coincidono ri 
spetto all’unità data (teor. VII, 23). Non possono coincidere in senso assoluto 
perchè i punti Z' w e Z m non determinerebbero la retta, ciò che è assurdo 
(teor. VI, 23). 
Ciò vale anche nei casi citati della retta chiusa, ma se l’unità è infinite 
sima di 1° ordine, allora i punti ZZ' xì se sono opposti, possono non deter 
minare la retta (teor. II, 14 e teor. VI, 23); e in tal caso le rette SZ mì SZ , a) 
possono coincidere in senso assoluto. 
25. Teor. I. Se un punto X x all’infinito determina la retta con un punto 
A del campo finito, esso determina una retta con ogni punto B di questo campo 
fuori della retta AX K . 
Difatti se 5 e non determinano una retta, la retta AB dovrebbe pas 
sare anche per X m (teor. VI, 4 e oss. II, 22), e quindi o per A passerebbe 
una sola retta, oppure B dovrebbe essere situato sulla retta AX xì contro il 
dato. 
Teor. IL Senei caso della retta chiusa e che due punti opposti non deter 
minino la retta, l’unità del campo finito è infinitesima di 1° ordine rispetto 
all’intera retta, scelta una retta AB vi sono più punti all’infinito in ambedue 
i versi che determinano la retta con ogni punto del campo finito. 
Si è già veduto che due punti opposti possono non determinare la retta 
chiusa (teor. II, 14 e teor. VI, 23). Perchè un punto determini una retta 
con ogni punto del campo finito intorno al punto A nel caso della retta 
chiusa e di un’unità infinitesima di 1° ordine rispetto all’intera retta, bisognerà 
sceglierlo fuori del campo finito rispetto alla stessa unità intorno al punto 
opposto A' di A, perchè in caso contrario vi sarebbe sulla retta AX M un punto 
X' nel campo finito intorno ad A tale che X'X^ sarebbe uguale alla metà 
della retta, ossia X'X W sarebbero punti opposti (teor. VI, 23). 
Conv. I. Finché non ci decideremo per il sistema nel quale due punti op 
posti determinano la retta chiusa, stabiliamo che quando l’unità è infinite 
sima di 1° ordine rispetto all’intera retta per punto aH’intìnito s’intenda sem 
pre un punto non opposto a nessun punto del campo finito. 
Teor. III. Un punto all’infinito con un punto del campo finito determina 
una retta e un verso o raggio di (questa retta (conv. I). 
Ciò è chiaro se la retta è aperta o se, nel caso della retta chiusa, l’unità 
del campo finito è infinitesima d’ordine superiore al primo rispetto all’intera 
retta, supponendo sempre che quando si parla senz’altro di punti all’infinito 
rispetto ad un’unità si intendano quelli del campo infinito di 1° ordine rispetto 
all’unità (int. oss. IV; 86). 
Difatti i punti ad es. A e X x nel caso della retta aperta determinano 
sempre un segmento, è così nel caso della retta chiusa anche quando l’unità 
è infinitesima di 1° ordine (conv. I) e quindi il punto determina il verso 
della retta a partire da A nel segmento (AX^).