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La figura delle rette congiungenti i punti di una retta r con un punto R 
fuori di essa nel campo finito intorno al punto S (oss. Ili, 23) corrispondente al 
l’unità sensibile (oss. emp. I, 4) viene rappresentata in parte dagli oggetti rettili 
nei che uniscono R coi punti dell’oggetto r (flg. 17). Supposto che gli oggetti retti 
linei passanti per R e incontrano r, siano prolungati indefinitamente, la figura di 
essi può essere tutta o in parte la figura che si ottiene tracciando tutti gli oggetti 
rettilinei (supposti anch’ essi prolungati indefinitamente) passanti per R sul foglio di 
steso del disegno. 
Supponiamo data o costruita sull’oggetto r debitamente prolungato una scala 
di unità (AA{) a partire da A in uno o nell’altro verso (int. def. I, 80). Può darsi 
che dopo i raggi che sul foglio incontrano la retta r a destra di A vi sia un pri 
mo raggio che non la incontri, in modo che ogni altro raggio, compreso fra questo e 
uno qualunque dei primi sul foglio debitamente prolungato, incontri la retta r in un 
punto del campo della scala suddetta, (int. def. Ili, 80), perchè se fra i raggi che non 
incontrano la retta r a destra di A nel campo della scala non vi fosse un primo rag 
gio, allora un raggio qualunque che incontra la retta r nel campo suddetto non po 
trebbe accostarsi indefinitamente ad uno qualunque dei primi raggi (def. I, 12), il 
che è escluso dall’osservazione del foglio intorno al punto R. 
Se fosse possibile costruire nel foglio del disegno un primo oggetto rettilineo rj 
passante pel punto R. il quale prolungato a destra dell’osservatore non incontrasse l’og 
getto r prolungato in un punto del campo suddetto a destra di A, l’oggetto rap 
presenterebbe esattamente il raggio parallelo a destra condotto da R o tutti i raggi 
paralleli condotti in senso assoluto da R alla retta r (def. I e II e teor. Ili, 26) x ). 
Approssimativamente questo raggio nel disegno è rappresentato dall’ oggetto r lt 
percorso nella direzione della freccia a destra. Dico approssimativamente perchè non 
abbiamo nessun mezzo per determinare un oggetto che corrisponda esattamente alla 
parallela. Invero fra l’oggetto che corrisponde al raggio parallelo e un oggetto ret 
tilineo che sufficientemente prolungato incontri la retta r in un punto lontanissimo 
fuori del campo della nostra osservazione non si scorge sensibilmente alcuna diffe 
renza sia ad occhio nudo sia cogli ¡strumenti di cui possiamo disporre. E nella parte 
ristretta del foglio del disegno il secondo oggetto sostituisce approssimativamente il 
raggio parallelo. E quello che diciamo pel campo del foglio del disegno vale eviden 
temente anche per tutto il campo della nostra osservazione esterna, che non è tutto 
lo spazio intuitivo (oss. emp., 1, e nota II). 
Ciò che si è detto per il verso a destra di A sulla retta r, si può ripetere an 
che per il verso a sinistra. Ora, non potendo tracciare sul foglio un oggetto r/ che 
corrisponda esattamente alla parallela da R nel verso di sinistra alla retta r, 1' os 
servazione non ci può dire se le due rette o i raggi paralleli condotti da R alla ret 
ta r coincidano o siano distinti o non esistano affatto, come accadrebbe se la retta 
nel campo finito fosse chiusa. Osserviamo soltanto che nel campo delle nostre osser 
vazioni l’ipotesi che esistano i raggi r x e r\ e siano coincidenti, ha una grandissima 
approssimazione di verità, e quindi per le pratiche applicazioni questa ipotesi è da 
preferirsi alle altre due. Ma può darsi che se ciò ha luogo con grande approssima 
zione nel campo ristretto delle nostre osservazioni ciò non abbia più luogo in un 
campo più vasto, come pure può essere che ogni oggetto rettilineo r 1 nel foglio di 
steso del disegno sufficientemente prolungato abbia un punto comune coll’oggetto r 
nel campo finito. 
Siccome poi le tre ipotesi, per essere geometricamente possibili, non devono con 
traddire ai dati dell’ esperienza entro il campo d’osservazione (vedi pref.), ciò vuol dire 
rappresentabile, come non lo è del resto in tutti i suoi stati la grandezza finita che diventa più pic 
cola di ogni grandezza data. (Vedi int. nota n. 105). 
1) Vedremo fra poco (teor. Il, 31) che il teor. Ili, 26 come i teoremi precedenti dimostrati soltanto 
pel punto S (ip. IV) valgono per tutti gli altri punti. Dimostreremo in seguito secondo la nostra def. 
I, 26 che il raggio parallelo nel sistema Euclideo è raggio limite dei raggi che incontrano la retta r 
a destra, il che finora non fu fatto.