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passante pei’ F e contenuta nel settore AFC e nel suo opposto al vertice incontra 
il lato (XC) in un punto interno (coroll. I, teor. I), mentre non può incontrare 
il lato (AB) che in uno dei suoi punti esterni (coroll. IV, teor. II, 50). Se in 
vece la retta passante per F è interna al settore AFB e al suo opposto al ver 
tice, essa incontra il lato (AB) in un punto interno e in un punto esterno il 
lato (AC). Ma ogni retta passante per F è contenuta in due dei settori oppo 
sti suddetti, che formano intorno ad F tutto il piano (def. I, 30 e def. I, 46); il 
teor. è dunque dimostrato (flg. 44). 
Coroll. I. Se una retta che non passa per alcuno dei vertici del triangolo 
incontra due lati del triangolo in punti esterni, incontra anche il terzo lato 
in un punto esterno. 
Perchè se incontrasse il terzo lato in un punto interno, incontrerebbe 
anche uno degli altri due lati in un punto interno. 
Teor. III. Se una retta ha un punto interno ad un triangolo, essa in 
contra necessariamente il perimetro di esso in due punti. 
Difatti sia g la retta, E il suo punto interno al triangolo ABC, e F il 
punto d’intersezione di AE col lato opposto (BC). Considerando i triangoli ABF, 
ACF, due lati dei quali sono lati del triangolo dato o parti di essi, la retta g 
incontrando il lato (AF) comune in un punto interno, incontra un altro lato 
di ciascuno di essi, che è un lato o è parte di un lato del triangolo dato, in 
un punto interno; dunque il teor. è dimostrato (flg. 44). 
Coroll. I segmenti che uniscono un punto 0 interno di un triangolo coi 
punti dei lati, contengono tutti i punti della parte interna del triangolo. 
Difatti tutti i segmenti suddetti sono interni al triangolo (coroll. Ili, teor. I). 
Se 0' è un punto interno qualunque, la retta 00' taglia il perimetro del trian 
golo in due punti, uno dei quali può essere anche un vertice, quindi il coroll. 
è dimostrato (def. I, 2 e def. I) XLIX) * 1 ). 
Oss. III. Osserviamo che gli angoli esterni di un triangolo (def. Ili) sono rispet 
tivamente adiacenti due a due ad angoli interni che hanno con essi il medesimo 
vertice l ). 
XLIX) Le proprietà di questo numero vanno dimostrate nello stesso modo ricor 
rendo agli stessi teoremi già dimostrati nelle note precedenti. Soltanto che se non 
si vuol far uso dell’espressione di punto all’infinito di due rette parallele, bisogna 
accennare nel teor. Ili al caso in cui la retta è parallela ad uno dei lati, ossia in cui 
il punto d’incontro con questo lato non esiste. 
Ma osserviamo anche qui che l’introduzione dell’espressione suddetta anche, in 
un trattato elementare serve a rendere più uniformi i teoremi stessi *)• 
1) Per poligono convesso intendesì quel poligono del quale ciascun lato incontra gli altri, che 
non hanno con esso un vertice comune, in punti esterni ad esso. 
Da questa definizione risulta che un lato divide il piano in due parti in una o nell'altra delle 
quali è situato tutto il poligono, ciò che si esprime anche dicendo che un lato del poligono convesso 
lascia dalla medesima banda tutti gli altri (def. Il e coroll. Ili, teor. ir, 50). 
Da ciò si deduce tosto che dato un poligono convesso A t a 2 ¿3 ... A n , i cui lati sono a 2 
A3 a^ ,..., A w _j A w< A n Aj , una diagonale ad es. A^ A s 1 ascia da una banda del piano i vertici a 2 , A3 ,... 
A s _i, e dall’altra i vertici A s _f-! .... A n . Si deduce pure che i prolungamenti dei lati ( A s _j_j a s ),.... 
( A n A l ) sono situati rispettivamente nei settori adiacenti di A ò ..j A s ij , a 2 A j 4 s . Stabilite 
queste proprietà si dimostra facilmente coll’aiuto dei teor. di questo numero e specialmente del 
teor. Ili il seguente teorema : 
Se una reità del piano di un poligono convesso, che non passa per alcuno dei suoi vertici e 
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