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§ 11. 
Angoli formati da due rette parallele con una traversale comune, 
Parti di una striscia piana rispetto ad una retta. 
52. Oss. I. Date due rette parallele r e r' e una traversale comune che le incontra 
nei punti A e A', sia R il punto di mezzo del segmento 
(AA’). La retta AA' divide il piano in due parti opposte e 
uguali, nelle quali sono situate le due parti opposte di r 
or ' rispetto ai punti A e A' (coroll. II, teor. Il, 50). Sia 
il punto all'infinito di r ed r situato da una parte 
' della traversale, nella quale sarà situato anche il raggio 
r 
Tfl della traversale, nella quale sarà situato anche il raggio 
( f/fìf s che lo congiunge con R; e X’ № sia il punto opposto di X x . 
V/VcL Gli angoli X^AR, X'^AR, X X A R, X^AR indichia 
moli rispettivamente con a e |3, a e /3'. Inoltre gli angoli 
opposti di a e /3 col vertice in A indichiamoli con S e 7; 
flg. 45 
e gli angoli opposti di a e /3' con 8’ e 7. Gli angoli a e 7, /3 e S; a' e 7', /3’ e 8’ sono 
angoli adiacenti, come gli angoli a e /3, 7 e 8; a e /3. 7' e 8*. 
Evidentemente gli angoli a e a. /3 e /3, 7 e 7', 8 e 8’ sono situati per la loro 
definizione in parti opposte del piano rispetto alla retta AA', mentre gli angoli a e 7, 
/3' e 8’, a' e 7', /3 e 5 sono situati rispettivamente nella medesima parte di piano ri 
spetto alla stessa retta AA' (fig. 45). 
Def. I settori angolari (angoli) a e /3, a! e /3’ secondo l’indicazione dell’oss. I 
si chiamano interni; 7 e 8 e 7' e 8' esterni, 
ci e fi', a e fi interni corrispondenti, 
7 e 8’, 7' e 8 esterni corrispondenti, 
/3 e /3', a e a’ alterni interni, 
7 e 7', 8 e 8' alterni esterni, 
a e 8', /3' e 7, a e 8, /3 e 7' alterni corrispondenti L). 
incontranti lato di esso in un punto interno, essa incontra un altro lato ed uno solo in un punto 
interno, e gli altri in un punto esterno. 
Una retta non può incontrare il contorno di un poligono convesso in più di due punti. 
Il contorno del poligono è dato dai suoi lati, e la parte interna è data da quella dei triangoli 
che hanno un vertice comune ed hanno per lati quelli del poligono. Si dimostra poi: 
Se una retta ha un punto interno al poligono convesso, essa incontra necessariamente il con 
torno del poligono in due punti. 
La proprietà che se una retta ha un punto interno ad un poligono convesso ed uno esterno, essa 
incontra necessariamente il contorno di esso almeno in un punto, viene data da Sannia e D’Ovidio 
con un postulato (1. c. pag. 50). Euclide, Legendre ecc. la ammettono tacitamente, De Paolis {1. c. pa 
gina 71 e ili) la ammette come cosa evidente senza postulato e senza dimostrazione appoggiandosi sul 
fatto che il contorno del poligono è una linea chiusa (vedi nota n. 60). La dimostrazione che dà Fai- 
fofer (Elementi di Geom. p. 43, 1S36) non ò sufficiente, come egli stesso avverte; se manca la defini 
zione della linea manca anche la base per la dimostrazione delle sue proprietà. (Vedi pref.). 
L) Si può dare a questo punto la definizione di raggi e di segmenti paralleli del 
medesimo verso e di verso opposto, cioè: 
Def. 1 raggi di due rette parallele situati dalla stessa parte rispetto ad una retta 
a partire dai punti d'incontro con questa retta si dicono del medesimo verso, men 
tre se sono due raggi paralleli situati da parti opposte, si dicono di verso opposto. 
Con queste espressioni intendiamo semplicemente di stabilire la posizione dei 
raggi paralleli rispetto ad una loro trasversale. 
Teor. Due raggi paralleli dìi medesimo verso 0 di verso opposto rispetto a l 
una loro trasversale AA lo sono rispetto a qualunque altra trasversale connine. 
Sia-lj^'j un' altra trasversale comune. Possono darsi due casi : 0 A x , A{ sono dalla