Siano r e r' i lati della striscia che debbono essere paralleli (def. Ili, 47) 
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e sia AA' la traversale che li incontra nei punti A e A'. 
Per dimostrare che le due parti X' x AA'X'*, X x A'AX M sono identiche, 
stabiliamo che siano corrispondenti quei punti che sono 
r 
segmenti (AX' x ), (A'X' № ), i punti corrispondenti B' e C 
sono situati sui segmenti (À'X M ) e (AXJ (teor. II, 43), e 
tali che si ha (B'C) =ff= (BC) (coroll. I, teor. I, 43). Scelti due 
altri punti X ò Y della prima parte, i punti X! e Y' cor 
rispondenti sono ad ugual distanza da R sui raggi op 
posti di RX e di RY, e quindi i due triangoli RXY, 
r 
flg. 47 
RX'Y' sono uguali per avere i due lati e l’angolo compreso uguale, e perciò 
(Z7) = (XT); dunque le due figure sono uguali (teor. Ili, 15) (fig. 47). 
Def. I. Le due parti della striscia in cui viene divisa da una retta le 
diremo opposte rispetto alla retta. 
Teor. II. Se dagli estremi A e A' di un segmento si conducono due raggi 
in una delle parti del piano determinate dalla retta del segmento, in modo 
che la somma degli angoli che essi formano col segmento (4.4') sia minore di 
due retti, i due raggi si incontrano in un punto. Se la somma degli angoli è 
maggiore di due retti, si incontrano i loro prolungamenti nella parte opposta 
del piano rispetto alla retta AA'. 
Indicando con Y M e Y' x i punti all’infinito della retta 4.4', e conducendo 
per 4 e 4' due rette parallele r e r, il piano viene diviso dalle tre rette r e 
ere 44' in sei parti, due a due uguali, cioè: 
(teor. I, 52) 
X x AAX x = 4T' 00 4'4Z' 00 (teor. I). 
Una retta .? del piano passante pel punto 4 è situata per metà nelle due 
parti del piano separate dalla retta 44' (coroll. II, teor. II, 50), cioè nelle due 
parti : 
Se una metà della retta s è contenuta nell’angolo X' M 4Y' M , l’altra metà 
è situata nell’angolo opposto X x AY K . Essa incontra la retta f nel segmento 
(AX^), situato entro questo angolo, perchè esso può essere generato congiun 
gendo il punto 4 coi punti di questo segmento (coroll. IV, teor. II, 50). L’altra 
metà della retta s non può certo incontrare la retta r (teor. II, 30 e conv. 28). 
Se la retta 5 è per metà situata nel settore angolare Y' w AX x , l’altra metà 
incontra per la stessa ragione la retta r in un punto del segmento (XX <x ). Nel 
primo caso, essendo l’angolo formato dal segmento (44') con la parte di4? 
compresa nel settore angolare X x AY w minore di questo angolo, dà con l’angolo 
X M A'Y' M una somma minore di due retti, perchè si ha : ' ■ , 
(teor. II, 52) 
X x AY x + X x A'Y' x 
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