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14. 
Figure simmetriche rispetto ad una retta xlvi). 
56. Def. I. Due punti B,B' situati in una perpendicolare ad una retta a 
nel piano si dicono simmetrici rispetto alla retta a, se hanno la stessa distanza 
dalla retta a (def. I, 54) che si chiama asse di simmetria. 
Indicando con 5 il punto d’incontro della perpendicolare BB' colla retta a, 
B e B sono simmetrici rispetto al punto S (def. II, 35). 
E in generale due figure si dicono simmetriche rispetto alla retta a, se i 
punti corrispondenti A e A', B e B', C e C' ecc. di esse 
sono simmetrici rispetto alla retta a (fig. 58). 
Coroll. Le parti in cui il piano viene diviso da una 
sua retta sono simmetriche rispetto alla retta i cui punti 
sono simmetrici di sè stessi (def. II, 50). 
Teor. I. Un segmento rettilineo ha per figura sim 
metrica rispetto ad una retta un altro segmento uguale 
al primo. Le rette dei due segmenti si incontrano in un 
punto dell'asse di simmetria, e formano con esso il me 
desimo angolo. 
Difatti sia dato un segmento (CB), e si consideri il segmento (GB) che 
unisce i due punti simmetrici C'e B! di C e B rispetto alla retta a. Se il 
punto C è in a, C coincide con esso (def. I), sia S il punto d’intersezione di 
(BB') con a I due triangoli SBC, SB'C-, sono uguali, perchè hanno il lato (SC) 
comune, (BS) = (B'S), e gli angoli in S retti (teor. IV e I, 47 e teor. II, 42). 
Se sul segmento (BC) è dato un punto D, e si conduce da B la normale 
alla retta a, che incontra (B'C r ) in un punto D r , D' è il punto simmetrico di D. 
Invero, se S' è il punto d’intersezione della retta DB' con a, i due triangoli 
BS'C, B’S'C sono uguali, perchè hanno il lato (S'C) comune, gli angoli in S' retti, 
e gli angoli in C uguali, essendo SCB = SCB ; quindi (BS) = (B'S') (teor. X, 55). 
Dai due triangoli BS'C, B'SC' si ha: 
(BC) = (B'C) 
e perciò 
(BB) = (B'B') (int. g" r , g”, 73) 
dunque il segmento (BB) ha per simmetrico il segmento (B’Dì) uguale ad esso, 
e le rette BB e B'B' si incontrano in un punto C dell’asse di simmetria for 
mando con esso angoli uguali (fig. 53). 
Teor. IL Bue figure simmetriche rispetto ad una retta sono uguali. 
Difatti stabilita la corrispondenza fra i loro punti simmetrici, ad una 
coppia di punti qualunque di ciascuna di esse corrisponde una coppia di punti 
dell’altra colla medesima distanza (teor. Ili, 15). 
XLVI) Questo paragrafo va trattato nello stesso modo.