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S m e S n id) non si incontrano in alcun punto, se sono indipendenti (def. II, 157). Se 
avessero infatti un punto comune A 0 , per determinare S m e S m d) potremmo 
prendere oltre A 0 ancora m e punti indipendenti, e perciò i due spazi S m 
e £ m (o sarebbero situati in uno spazio S m + m {\). 
Se essi avessero due punti comuni, e quindi anche la retta che li unisce 
(teor. I, 157), per determinarli, oltre a questi due punti basterebbero altri m — 1 
punti del primo e — 1 punti del secondo spazio, e quindi sarebbero situati 
in uno spazio a m-\- W2 (l) — l dimensioni. Analogamente se gli spazi dati hanno 
« + 1 punti indipendenti comuni. 
Teor. II. Due spazi S m e S m (i) ad m ed mh) dimensioni indipendenti nello 
spazio S n si incontrano in uno spazio S a , ove a = m + ?w (1) — n. 
Supponiamo infatti che lo spazio a n dimensioni coincida con lo spazio 
S m -t- m (1) — «• Si avrà : 
m + m<h— a — n (1) 
Caroli. Se a = o essi hanno un solo punto comune, se a è negativo non 
ne hanno alcuno. 
Oss. II. Se m > mh) é chiaro che a può essere al massimo uguale ad m(h , nel 
qual caso <Sm(i) è contenuto interamente in Sm- Quando parleremo di spazi che si in 
contrano intenderemo sempre che nessuno di essi giaccia interamente nell’altro, e 
che quindi a sia al massimo uguale a mW — 1. 
Teor. III. ¿'-fi spazi indipendenti S m , S m (i)...., S m (s) dello spazio S n si 
tagliano in uno spazio S p , ove 
p = 2 mW — sn [i = 0,1... s). 
Lo spazio S a viene incontrato da un terzo spazio S m (2) in uno spazio Sa v 
dove è per relazione precedente 
(2) a 1 ss a + w (2 > — n—m 4- vn^ + m — 2 n 
Lo spazio Sa x viene incontrato da un quarto spazio S m {3> in uno spazio 
Sa 2 , dove 
(3) « 2 = a x + mQ) — n = m + nid) — 3 n. 
Così si giunge ad uno spazio Sa s _ 2 che viene tagliato da un (5+l) mo spazio 
S m (s) in uno spazio Sa s _j essendo 
a s . 1 =:a s -2 + m (s) — n = 2mh) — sn («*=0,1,...5). 
Teor. IV. 5+1 spazi cpvMunque S mì S m {\) } ..., S m (s) in S n si tagliano in uno 
spazio S q , ove si ha 
q = 2 md> + 2 d K —sn (¿ = 0, 1,... 5; h = 0,l,2,....s-2) 
ove alcuni 0 tutte i numeri d possono essere zero. Lo spazio Sq è indipendente 
dall' ordine in cui si considerano gli spazi dati. 
Se gli spazi S m e S m d) si tagliano invece in uno spazio S a + d in luogo 
di S a (e si sa che a + d se w<m( 1 ) può essere al più uguale a m (1) — 1 (oss. Il) 
allora nella relazione (2) in luogo di a bisogna porre a-\-d, di modo che gli 
spazi S m , S m w, S m (2) si tagliano in uno spazio Sa^a. Supponiamo invece che