24 LA REPRESENTACION DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS
12. La Elipse. Sea hallar la ecuación de la Elip
se, lugar de los puntos tales que la suma de sus
distancias á dos pinitos fijos F y Fes igual á una
lonjitud dada 2 a > FF'.
Se advierte que éste es un lugar simétrico con
respecto á la línea de unión de los puntos fijos, y
á la perpendicular en el medio de esta línea. Con
viene, por tanto, ya por la forma del lugar, ya para
el estudio de sus propiedades, elejir como ejes co
ordenados las líneas indicadas. La ecuación no
tendrá término impar en x ó y, porque á cada valor
de x corresponden dos de la ordenada, y á cada
valor de esta, dos de la abscisa.
Siendo M un pun
to cualquiera del
lugar, y siendo AA'
la cantidad cons
tante dada, se tie
ne por definición;
AA' > FF', ó 2a>2c,
es decir
a > c;yMF+MF'=2a
Calculando la di
ferencia MF—MF'
se encontrarán estas cantidades:
MF' 2 =y 2 +(c-fx) 2 ; MfW+Íc-x) 1
(MF'—MF)2a=y 2 +c a -Fx , +2cx—y 8 -c 2 —x s +2cx=4cx
de donde MF'-MF=—
luego MF' = a+^; MF = a—^
Entonces MF' 2 =a 2 -!—-f-2cx=y 2 -Fc 2 -f-x -j-2cx,
d