104 Kap. III. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. 
d. h. die Genauigkeit sei dem mittleren Fehler umgekehrt propor 
tional, So fanden wir im §. 17, 5. den mittleren Fehler p n des 
arithmetischen Mittels aus n gleich genauen Beobachtungen von 
der mittleren Unsicherheit p': 
* = : 
V n 
Wir schreiben dafür, indem wir das Doppelzeichen weglassen: 
Konst. 
pn 
= Vn - 
Konst. 
p' 
d. h. die Genauigkeit des arithmetischen Mittels ist das Vnfache 
der Genauigkeit einer einzelnen Beobachtung. Durch Wieder 
holung von Beobachtungen und Mittelbildung erhält man also 
nicht blofs Kontrollen der Messung, sondern auch einen Vn mal 
so genauen Wert als die Einzelmessung liefert. 
Noch einen anderen Mafsstab für den Wert von Beobachtungen 
gewinnen wir, indem wir dem arithmetischen Mittel aus n gleich 
genauen Beobachtungen das wfache Gewicht jeder einzelnen zu 
schreiben. Nun sind nach §. 17, 5. die Quadrate der mittleren 
Fehler p n und p p der arithmetischen Mittel aus je n und p gleich 
genauen Beobachtungen von der mittleren Unsicherheit p' aus 
gedrückt durch: 
..2 
.. 2 
p n — 
p p = 
n 
p 
daher: 
2 . 2 
1 1 
pn • pp 
n ' p 
oder: 
1 
1 
n : p = —7 
* .. 2 
pn 
üp 
Von den beiden arithmetischen Mitteln hat, der gegebenen Defi 
nition zufolge, das eine das wfache, das andre das jrfache Gewicht 
der Einzelbeobachtung. Daher ergibt die letzte Proportion den Satz: 
Die Gewichte arithmetischer Mittel verhalten sich umgekehrt 
nie die Quadrate ihrer mittleren Fehler, dessen Umkehrung durch 
die vorhergehende Proportion ausgesprochen wird. 
Indem wir der Einzelbeobachtung das Gewicht Eins zuschrei 
ben , geben wir den arithmetischen Mitteln die Gewichte n und p. 
ln diesem Falle ist die Anzahl der zu einem Mittel vereinigten