§. 27. Genauigkeit und Gewicht.
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Beobachtungen zugleich das Gewicht des letzteren. Schreiben
wir jedoch der Einzelbeobachtung das beliebige Gewicht y zu, so
sind der Definition zufolge die Gewichte N und P der arithmeti
schen Mittel
N = ny; P — py.
DurchWahl von y oder von N oder vonP sind die beiden anderen
dieser drei Zahlen bestimmt.
Wir haben den Begriff Genauigkeit von Beobachtungen auch
auf Funktionen der Beobachtungen übertragen, indem wir ganz
allgemein die Gleichung (1) festsetzten. Ebenso dehnen wir den
Begriff Gewicht vom arithmetischen Mittel auf beliebige Funk
tionen von Beobachtungen aus, wenn wir ganz allgemein fest
setzen :
P , , Konstante
Quadrat des mittleren Fehlers
also unter den Gewichten von Beobachtungen oder Funktionen
von Beobachtungen Zahlen verstehen, welche den Quadraten der
mittleren Fehler der Beobachtungen oder ihrer Funktionen ver
kehrt proportional sind. Die Wahl der Konstanten im Zähler von
(1) und (2) steht in unsrem Belieben. Wenn wir diejenige der
zweiten Formel gleich dem Quadrat derjenigen in (1) nehmen, so
werden die Gewichte Quadrate der Genauigkeiten. In jedem Falle
folgt aus den beiden Formeln der Satz:
Pie Gewichte von Peobachtungen oder Funktionen derselben
verhalten sich ivie die Quadrate ihrer Genauigkeiten.
Wollen wir Beobachtungen oder Funktionen von solchen,
aus einer oder mehreren Reihen, dem Gewichte nach mitein
ander vergleichen, so setzt dies voraus, dafs die Gewichte unter
Annahme einer und derselben Gewichtskonstante ausgedrückt sind.
Man pflegt diese Konstante indirekt festzusetzen, entweder
a) indem man einer gegebenen Beobachtung das Gewicht
Eins beilegt. Wird darauf der mittlere Fehler dieser oder einer
gleich genauen Beobachtung berechnet, so findet sich nach (2)
auch die Konstante. Oder
b) indem man einer wiiddiclien oder hypothetischen Beob-
achtungsgrüfse von bekanntem oder vorausbestimmtem mittleren
Fehler das Gewicht Eins beilegt. Dadurch ist die Gewichtskon
stante von vornherein als das Quadrat dieses mittleren Fehlers
bestimmt.
