§. 22. Folgerungen aus zwei Wegen der Reduktion der Normalgleichungen. 75
Als Beispiele greifen wir heraus:
VV = bl — al
oder nach einigen Abstrichen:
VV = bl-
Ebenso entwickelt man:
ab
aibi
a l
+
Cli Cli
ab
. al
rv
rv
aa
aa
aa .
. aa
ab
ab-
al
+
r\y
a a •
ab
. al
/-v/
rv
aa
aa
aa .
aa
ab . al
aa
= bl!.
<"V/ iN/
7 11 f 7,7 n t ab. ab . ab
bi bi — bi bi a,i bi —J— o!j a
aa
'7 r>^/
aa . aa
rv/ r-sj
~ ab . ab
' >u rKJ 7/, 7) _
6'6'= 66 - 2a6.-^ + a« _ ^
aa aa.aa
woraus man den Faktor 2 gegen das letzte Glied streichen kann.
Daher
r\*s rvy
n, h . d h
VV = bb- - = bb.i U. s. w.
aa
Somit hat sich ergeben, dafs das System der einmal reduzierten
Normalgleichungen auch durch Neubildung aus den einmal redu
zierten Fehlergleichungen entsteht. Da jede weitere Reduktion
der Normalgleichungen einerseits, der Fehlergleichungen andrer
seits nur eine Nachbildung der ersten ist, so braucht nicht erst
bewiesen zu werden, dafs der vorige Satz auch gilt, wenn das Wort
„einmal“ durch „n-mal“ ersetzt wird.
Hiernach gelten, z. B. für den Fall von vier Unbekannten, die
Identitäten:
aa = aa\ VV = bb. x \ c"c" — cc. 2 ; d"’dl" = dd. s . (10)
Das heifst: jeder Koeffizient in der untersten schräg gelesenen
Zeile des Systemes (6*) ist eine Summe von Quadraten und darum
positiv.
Anstatt die Gewichtsgleichungen sämtlich in den Formen (12)
(12*) und (12**) des §. 20 anzuschreiben, thun wir es nur für das
erste System und geben den folgenden eine andere Gestalt.