Full text: Grundzüge der Ausgleichsrechnung

§. 22. Folgerungen aus zwei Wegen der Reduktion der Normalgleichungen. 75 
Als Beispiele greifen wir heraus: 
VV = bl — al 
oder nach einigen Abstrichen: 
VV = bl- 
Ebenso entwickelt man: 
ab 
aibi 
a l 
+ 
Cli Cli 
ab 
. al 
rv 
rv 
aa 
aa 
aa . 
. aa 
ab 
ab- 
al 
+ 
r\y 
a a • 
ab 
. al 
/-v/ 
rv 
aa 
aa 
aa . 
aa 
ab . al 
aa 
= bl!. 
<"V/ iN/ 
7 11 f 7,7 n t ab. ab . ab 
bi bi — bi bi a,i bi —J— o!j a 
aa 
'7 r>^/ 
aa . aa 
rv/ r-sj 
~ ab . ab 
' >u rKJ 7/, 7) _ 
6'6'= 66 - 2a6.-^ + a« _ ^ 
aa aa.aa 
woraus man den Faktor 2 gegen das letzte Glied streichen kann. 
Daher 
r\*s rvy 
n, h . d h 
VV = bb- - = bb.i U. s. w. 
aa 
Somit hat sich ergeben, dafs das System der einmal reduzierten 
Normalgleichungen auch durch Neubildung aus den einmal redu 
zierten Fehlergleichungen entsteht. Da jede weitere Reduktion 
der Normalgleichungen einerseits, der Fehlergleichungen andrer 
seits nur eine Nachbildung der ersten ist, so braucht nicht erst 
bewiesen zu werden, dafs der vorige Satz auch gilt, wenn das Wort 
„einmal“ durch „n-mal“ ersetzt wird. 
Hiernach gelten, z. B. für den Fall von vier Unbekannten, die 
Identitäten: 
aa = aa\ VV = bb. x \ c"c" — cc. 2 ; d"’dl" = dd. s . (10) 
Das heifst: jeder Koeffizient in der untersten schräg gelesenen 
Zeile des Systemes (6*) ist eine Summe von Quadraten und darum 
positiv. 
Anstatt die Gewichtsgleichungen sämtlich in den Formen (12) 
(12*) und (12**) des §. 20 anzuschreiben, thun wir es nur für das 
erste System und geben den folgenden eine andere Gestalt.
	        
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