6 
Erster Abschnitt. Synthetische Theorie der Cliffordschen Parallelen. 
es zum Ausdruck der Windung der beiden Geraden gegeneinander benutzen 
könnnen. 
4. Perspektive Übertragung von Richtung und Drehsinn. 
Ist auf einer Geraden a eine Richtung [a] + willkürlich festgelegt, so ist 
nach Nr. 2 damit zugleich ein positiver Drehsinn (a) + um a bestimmt, 
so daß [a] + und (a) + eine positive Windung ausmachen, also durch ein 
positives Dreibein Zusammenhängen. Richtung und Drehsinn von a rufen 
auf jeder zu a windschiefen Geraden fr durch Perspektivität einen Dreh 
sinn und eine Richtung hervor: der Drehsinn wird von einer Ebene des 
Ebenenbüschels (fr) beschrieben, wenn ihr Schnittpunkt mit a die Richtung 
[a] + durchläuft; die Richtung wird von einem Punkte der Punktreihe [fr] 
beschrieben, wenn seine Verbindungsebene mit a das Ebeuenbüschel (aj 
in dem Drehsinn (a) + durchstreift. 
Ich behaupte nun: Richtung und Drehsinn von & stehen wieder in 
dem Zusammenhang einer positiven Windung. Die Behauptung ist be 
wiesen, wenn ich Richtung und Drehsinn von fr durch Bewegung gleich 
zeitig mit [a\ + und (a) + oder mit [a]_ und (a)_ zur Deckung bringen 
kann. Zu diesem Zwecke konstruiere ich die beiden gemeinsamen Lote 
AB und A X Bj von a und fr, halbiere die Strecken AB und A 1 B 1 in M 
und M x , verbinde M x durch eine Gerade m und nehme mit der ganzen 
Figur um m eine Um Wendung vor. Dabei kommt natürlich a auf fr und 
fr auf a zu liegen. Da ferner die Umwendung eine involutorische Bewe 
gung ist, durch eine Wiederholung also ganz der alte Zustand wieder 
hergestellt sein muß, so kommt entweder [a] + auf die Richtung in [fr] 
und gleichzeitig diese in die alte Lage von [a] + zu liegen, oder [n] + läuft 
der Richtung in [fr] entgegen und gleichzeitig kommt diese mit | a\_ zur 
Deckung. Ich brauche nur den ersten Fall zu erörtern. An der Per 
spektiven Beziehung zwischen den Richtungen und Drehsinnen wird durch 
die Bewegung nichts geändert. Der Drehsinn von fr in der neuen Lage 
ist also mit [<x] + in der neuen Lage perspektiv, d. i. mit der alten Richtung 
von fr. Folglich sind Richtung und Drehsinn von fr gleichzeitig mit [a] + 
und (a) + — in der zweiten Annahme gleichzeitig mit [<z]_ und ([a)_ — 
zur Deckung gekommen. Die Behauptung ist also bewiesen und wir 
haben den Satz: 
Bichtung und Drehsinn in positiver oder rechter Windung [a] + und 
(n) + an einer Geraden a involvieren durch Perspektivität an jeder zu a wind 
schiefen Geraden & Drehsinn und Bichtung, die wieder in der Beziehung 
einer positiven Windung stehen (&) + und [fr] + . Perspektive Windungen haben 
gleiches Vorzeichen. 
Dieser einfache Satz herrscht auch in der Euklidischen Geometrie 
und gibt die Möglichkeit, von einer Geraden aus, auf der positive Richtung