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Erster Abschnitt. Synthetische Theorie der Cliffordschen Parallelen. 
§ 3. Elementare Parallelensätze. 
12. Die Eigenschaft konstanten Abstandes, Konstruktion. 
Die gemeinsamen Lote zweier Cliffordschen Parallelen sind sämtlich 
gleich lang. 
Sind nämlich a, b die Parallelen, AB, ÄB' zwei gemeinsame Lote, 
so halbiere ich die Strecke AÄ im Punkte M und nenne das in AI 
fußende gemeinsame Lot MN. Nehme ich dann mit der ganzen Figur 
eine Umwendung um die Gerade MN vor, so kommt A auf Ä zu liegen, 
B aber könnte zunächst auf einen von B' verschiedenen Punkt der 
Geraden b — er heiße B" — fallen. Dann gäbe es aber von A' aus auf 
die Gerade b zwei Lote ÄB' und ÄB". Das ist unmöglich, also fällt 
AB mit ÄB' zusammen; die beiden willkürlich herausgegriffenen ge 
meinsamen Lote AB und A'B' sind gleich lang. 
Sind andrerseits die beiden absolutpolaren gemeinsamen Lote AB und 
A 1 B 1 zweier 'windschiefen Geraden gleich lang, so sind die Geraden parallel. 
In der Figur 1 entsteht alsdann der Widerspruch, daß die wachsenden 
und abnehmenden Konstruktionsgeraden nach gleichgroßen Strecken kon 
vergieren müßten. Derselbe ist nur dadurch zu heben, daß die Projek- 
tivität auf der Geraden b eine Identität ist, daß also jedes Lot auf der 
einen Geraden, das die andere schneidet, zugleich auf dieser senkrecht steht. 
Das Moment, das Kommoment, der Parameter zweier Cliffordschen 
Parallelen ist daher das Quadrat des Sinus, des Kosinus, des Tangens ihres 
konstanten Abstandes; Moment und Parameter sind dabei noch je nach 
der Windung mit positivem oder negativem Vorzeichen zu versehen. 
Dual zu dem vorigen Satze gilt: Die Neigung zweier Cliffordschen 
Parallelen ist an allen gemeinsamen Loten dieselbe und gleich dem Ab 
stand. Daraus folgt: Jede von zwei Parallelen bildet mit jeder durch die 
andere gehenden Ebene denselben, dem Abstand gleichen Neigungsivinkel. 
Diese Sätze gestatten die einfache Lösung der Konstruktionsaufgabe: 
Durch einen Punkt B die Cliffordschen Parallelen zu einer gegebenen 
Geraden a zu ziehenA) (Fig. 4.) Ich 
fälle von B das Lot h auf a, Fußpunkt A. 
Die absolute Polare \ schneidet a in 
A x , auf ihr trage ich die Strecke AB 
von A 1 aus nach beiden Seiten ab A 1 B 1 , 
A 1 B° 1 . Verbinde ich dann B mit B x und 
B\, so sind diese Verbindungsgeraden 
b, b° die beiden durch B gehenden Paral 
lelen zu a, die eine ist rechts-, die andere linksparallel. 
1) Bonola-Liebmann a. a. 0. p. 200. — F. Schur gibt eine in einem beliebig 
vorgegebenen beschränkten Bereiche mögliche Konstruktion. 
Fig. 4.