§ 3. Elementare Parallelensätze. 
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Sind umgekehrt b, b° zwei sich in B schneidende Geraden, dann gibt 
es nach dem Satze von Nr. 11, daß Parallelennetze ungleicher Windung 
ein reelles Paar absolut polarer Geraden gemein haben, zwei Geraden a, a 
die zu b rechts-, zu b° linksparallel sind 
und zwei 0, a' die zu b links-, zu b° 
rechtsparallel sind. Ich kann sie mit 
Bonola so konstruieren: h sei das Lot 
in B auf der Ebene bb°, h x seine in dieser 
Ebene gelegene absolute Polare. (Fig. 5.) 
Sie schneide b und b° in B x und Bf A x 
sei der Mittelpunkt der Strecke B X B X , 
dann trage ich die Strecke A X B X von B 
aus auf li nach beiden Seiten auf bis 
A und §1. A X A und sind dann 
die gesuchten Geraden a und a, ihre absoluten Polaren ergeben sich, wenn 
wir an Stelle des Punktes A x den Halbierungspunkt A[ der Ergänzungs 
strecke von B X B X nehmen. 
13. Winkel an Parallelen. Ich will zur bequemeren Formulierung 
der kommenden Sätze die folgende Bezeichnung einführen: Wir nennen 
zwei Bichtungen, zwei Drehsinne an zwei windschiefen Geraden gleichartig 
oder ungleichartig, wenn sie in der Orientierung durch zwei Perspektive 
positive Windungen gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben. 1 ) 
Die gemeinsamen Lote zweier parallelen Geraden a, b bilden eine 
Regelschar, welche sich auch auf ihre absolut polaren Geraden a', b' 
stützt. Nehme ich an, daß a und b rechtsgewunden parallel sind, so 
kann ich jede der drei Geraden a, b, a mit einer rechten Windung ver 
sehen, so daß diese Windungen zu je zweien perspektiv sind. Die Per- 
spektivität wird vermittelt durch die Regelschar der gemeinsamen Lote; 
sie macht also auch zwei gleichartige Richtungen von a und b perspektiv. 
Sind a und b linksgewunden, so macht die Regelschar der gemeinsamen 
Lote ungleiche Richtungen von a und b perspektiv. 
Nennen wir bei zwei parallelen Geraden solche Richtungen parallel 
oder entsprechend, welche durch die Regelschar der gemeinsamen Lote 
perspektiv gemacht werden, so gilt: Bei rechtsgewundenen parallelen Geraden 
sind gleichartige, bei linksgewundenen ungleichartige Richtungen entsprechend 
Im ersten Falle also [aj + und [6] + , im zweiten [a] + und [&]_. 
Zwei parallele Geraden a, b werden von einer Geraden g geschnitten 
in A und B'- AB und B'A' sind die beiden gemeinsamen Lote, die in 
A und B' fußen. Dann stimmen die beiden rechtwinkligen Dreiecke 
1) Sie wurde schon in Nr. 5 vorübergehend benutzt.