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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
schließen, daß bei dem zweiten Typus beide Involutionen hyperbolisch, bei 
dem ersten beide elliptisch sind; doch wollen wir dies näher untersuchen. 
29. Zwei Typen von hyperbolischen Paraboloiden. Zunächst 
beweise ich: 
Wenn eine Regelschar zwei rechtsparallele Geraden g, g' enthält, so 
trägt sie eine Involution rechtsparalleler Geraden, und die Leitschar eine 
solche linksparalleler Geraden. 
Die Leitschar kann ich mir entstanden denken durch die Verbindungs 
geraden entsprechender Punkte zweier projektiven Punktreihen auf den 
Geraden g, g'. In zwei projektiven Punktreihen gehen von jedem Paar 
entsprechender Punkte zwei Paare entsprechender gleicher Strecken aus 1 ); 
aber nur in dem einen Paar sind wirklich die gleichen Strecken ent 
sprechend, in dem anderen zwei Strecken, die sich zu n ergänzen. Sind 
nun die beiden Punktreihen gleichlaufend projektiv, d. h. entspricht einer 
festgelegten positiven Richtung auf g, die vermöge der Festsetzungen von 
Nr. 4 bestimmte positive Richtung auf g', so bestimmt jedes Paar der 
ersten Art ein windschiefes Parallelogramm, dessen linksparallele Gegen 
seiten zur auf g, g' gestützten Regelschar gehören, im anderen Falle liefert 
jedes Paar der zweiten Art ein solches Parallelogramm. Sind g, g' links 
parallel, so gilt das Umgekehrte. Damit ist die zweite Hälfte des aus 
gesprochenen Satzes bewiesen; die erste folgt gerade so, wenn ich jetzt 
von zwei linksparallelen Geraden der auf g und g' gestützten Regelschar 
ausgehe. 
Die Involutionen rechts- und linksparalleler Geraden schneiden einen 
Hauptkegelschnitt, z. B. (o5 x ), in je einer Punktinvolution. Bei einer Spie 
gelung an der Ebene to 1 geht die Involution rechtsparalleler Geraden der 
einen Schar in die linksparalleler Geraden der anderen über; der Kegel 
schnitt (co 1 ) bleibt aber punktweis in Ruhe. Darum schneiden die beiden 
Parallelinvolutionen in einen Hauptkegelschnitt dieselbe Punktinvolution ein. 
Durch Umwendung um eine Achse der Fläche geht jede Parallelinvolution, 
also auch die Punktinvolution auf (ca 1 ), in sich selbst über. Darum muß 
das Zentrum der auf (eoj) liegenden Punktinvolution einer der Mittel 
punkte Oj_, M, M' sein. Ist es 0 1? so sind die Punktinvolution und folg 
lich auch beide Parallelinvolutionen elliptisch, ist es M oder M', so sind 
sie hyperbolisch. Nun überzeugt man sich unschwer, daß, wenn das pa 
rallele Strahlenbüschel in liegt, der erste Fall eintritt — O t ist Zen 
trum —, während, wenn das Strahlenbüschel in die Ebene OM' fällt, 
der zweite Fall statt hat — M' ist Zentrum —, und daß die äußersten 
1) Steiner-Schröter-Sturm, Theorie der Kegelschnitte, Leipzig 1898, p. 38. 
Für die Punktreihe der elliptischen Geometrie folgert man den Satz aus der ent 
sprechenden Eigenschaft der projektivischen Strahlenbüschel.