§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz. 
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vierter Ordnung mit h, h x als doppelten Leitgeraden. Sie ist die projektive 
Verallgemeinerung des Plüekersehen Zylindroids; nennen wir sie Achsen 
fläche. Wegen der doppelten Leitgeraden hat sie das Geschlecht Eins. 1 ) 
41. Das Symmetrietetraeder. Mit dem Netz N ist eine wind 
schiefe Involution verbunden (Nr. 8). Die zu ihr gehörigen Involutionen 
entsprechender Punkte auf h und h x haben mit der absoluten Involution 
je ein stets reelles Paar S, T; S x , T x gemein, stets reell, weil die absolute 
Involution immer elliptisch ist. S, T, S x , T x sind Ecken eines absoluten 
Polartetraeders. Die Gegenkantenpaare SS X , TT X und ST X , TS X gehen 
durch die windschiefe Involution ineinander über und sind absolutpolar. 
Auf jedes Gegenkantenpaar stützt sich daher eine Regelschar des Netzes, 
welche einem gleichseitigen Paraboloid angehört, es liegt daher auf der 
Achsenfläche. Die Achsen fläche enthält das absolute Polartetraeder STS X T X * 
nennen wir es Haupttetraeder. 
Ein linearer Komplex geht durch jede Drehung um seine Achse in 
sich selbst über, desgleichen auch durch jede Umwendung um einen die 
Achsen senkrecht schneidenden Nullstrahl. 
h und h x sind achsensenkrechte Nullstrahlen für jeden linearen Komplex 
des Büschels. Nehme ich mit irgend zwei von ihnen eine Umwendung 
um h oder h x vor, so gehen sie in sich selbst über, also bleibt auch das 
beiden gemeinsame Netz in Ruhe, h und h x sind Symmetrieachsen des 
Netzes. 
Für den Komplex, der SS X und TT X zu Achsen hat, sind ST X , TS X 
achsensenkrechte Strahlen. Wende ich diesen Komplex und denjenigen, 
der ST X , TS X zu Achsen hat, um Sl\ und TS X um, so gehen sie beide 
in sich selbst über, also bleibt auch wieder das beiden gemeinsame Netz 
in Ruhe. Auch die anderen Kanten des Haupttetreaders sind Symmetrie 
achsen des Netzes, h, li x heißen Hauptsymmetrieachsen, die vier anderen 
Nebensym metrieachsen. 
Eine Symmetrie, die das Netz in sich selbst überführt, führt natür 
lich jeden linearen Komplex des Büschels wieder in einen Komplex des 
Büschels über, also auch die AchsenÜäche in sich. Das Haupttetraeder 
ist Symmetrietetraeder auch für die Achsenfläche. 
Die Nebensymmetrien rufen auf den Strahlen der Regelfläche dieselbe 
Involution hervor, weil sie auf den Leitgeraden h, h x dieselben Punkt 
involutionen bestimmen mit den Doppelpunkten S, T; S x , T x . 
1) Sturm, a. a. 0. Bd. III. p. 106 ff. gibt die allgemeine synthetische Theorie 
dieser Regelflächen. Rohn, Die verschiedenen Arten der Regelflächen vierter Ord 
nung, Math. Ann., Bd. 28, p. 284. Die Achsenfläche ordnet sich unter § 2, p. 292, 
N. 12. — In der dualprojektiven Geometrie tritt die Achsenfläche als Fundamental 
fläche auf: Coolidge a. a. 0. § 5. Dort heißt sie „chain“.