§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz. 
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Das Achsoid ist Erzeugnis einer Projektivität zwischen zwei Involu 
tionen auf h und h i . Von der Involution auf h x kenne ich die Doppel 
elemente w X} w x '. Bezeichne ich die laufende Koordinate mit r X} so kann 
ich die Gleichung der Involution schreiben: 
(tg r x — l) 2 + A (tg r x + l) 2 = 0 . 
Von der Involution auf h kenne ich zwei Paare: U, V' und V, U', ihre 
Gleichung in der laufenden Koordinate r ist: 
(tg r — tg u) (tg r — tg?/) -f p (tg r — tg V) (tg r — tg u') = 0, 
(tg r — tg u) (tg r — ctg u) ¡1 (tg r + tg u) (tg r + ctg u) = 0. 
Die Projektivität zwischen den beiden Involutionen wird durch eine 
bilineare Relation in k uud ¡u ausgedrückt. Beachtet man, daß ent 
sprechende Paare der Involutionen sind: U, V und W x \ V, V und W x ] 
S, T und S X T X , so erkennt man als diese bilineare Relation leicht die 
Gleichung A = p. Mit ihrer Hilfe ergibt eine einfache trigonometrische 
Rechnung die Beziehung: 
sin 2 r 
sin 2 u — 
sin 2 r x 
r legt einen Punkt auf h fest, diese Gleichung bestimmt durch Auflösung 
nach die beiden Punkte auf h x , die von den durch den ersten gehenden 
Erzeugenden eingeschnitten werden. 
Sind die Leitgeraden a, b des Strahlennetzes reell, so liegen sie auf 
der Achsenfläche. Die zu ihnen gehörigen Werte 2r und 2r x sind die beiden 
Abstände AB und A X B X . Aus der Gleichung 
sin 2u 
sin AB 
sin A. B. 
folgt dann, daß AB kleiner als A x B x ist, weil sonst u nicht reell sein 
könnte. Wir schließen: Die Verzweigungspunkte der Achsenflüche liegen 
auf dem kleinsten gemeinsamen Lote der Leitgeraden. 
Der weiteren Untersuchung der Achsenfläche uud der Systeme koa 
xialer Netze steht in Analogie zu der bekannten Euklidischen Behandlung 
keine Schwierigkeit im Wege. 
45. Mittelpunkts- und Mittelebenenfläche (Fokaltheorie). 1 ) Mit 
einem Strahlennetz ist eine windschiefe Kollineation verbunden. Auf jedem 
Netzstrahl hat die zu der windschiefen Involution gehörige Punktinvolution 
mit der Involution absolut konjugierter Punkte ein stets reelles Paar gemein, 
stets reell, weil die zweite Involution immer elliptisch ist. Ich nenne die 
1) Jolles, Die Fokaltheorie der linearen Strahlenkongruenzen. Math. Ann. 63, 
p. 337