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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
Punkte dieses Paares Mittelpunkte des Netzstrahles, denn im Falle reeller Leit 
geraden halbieren sie die von den Leitgei aden auf dem Netzstrahl begrenzten 
Strecken. Um den Ort dieser Mittelpunkte im Raume zu ermitteln, lasse 
ich einen Punkt X auf einer Geraden x laufen. Sein in der windschiefen 
Involution entsprechender Punkt X' läuft auf einer Geraden x. Auf x 
entsteht eine Projektivität, wenn ich einem Punkte X immer denjenigen 
zuordne, welcher zu seinem entsprechenden X' auf x absolut konjugiert, 
also von ihm um ^ entfernt ist. Die beiden Doppelelemente dieser Pro 
jektivität lehren, daß es auf einer beliebigen Geraden zwei Punkte gibt, 
deren in der windschiefen Kollineation entsprechende zu ihnen bzgl. ab 
solut konjugiert sind. Der Ort der Mittelpunkte ist also eine Fläche 
zweiter Ordnung 4> 2 . Die Nebensymmetrieachsen sind Paare absolutpo 
larer Geraden, die sich in der windschiefen Involution entsprechen; sie 
müssen also auf <P 2 liegen. Es folgt: Der Ort der Mittelpunkte ist ein 
gleichseitiges Paraboloid, das die Nebensymmetrieachsen trägt, und folglich 
die Hauptsymmetrieachsen zu Achsen hat. 
Dual gibt es in dem Ebenenbüschel um jeden Netzstrahl zwei auf 
einander senkrechte Ebenen, die in der windschiefen Involution ent 
sprechend sind. Ich will sie Mittelebenen des Netzes nennen und erhalte 
durch eine der obigen duale Überlegung: Der Ort der Mittelebenen ist ein 
gleichseitiges Paraboloid P 2 , das die Nebensymmetrieachsen trägt. 
Errichte ich in einem Punkte X von d> 2 die auf dem durchgehenden 
Netzstrahl senkrecht stehende Ebene §, so ist der Punkt X', der dem X 
in der windschiefen Involution entspricht, der absolute Pol von £. Die 
der | entsprechende Ebene £' geht durch X' und ist folglich auf § senk 
recht. £ gehört also der P 2 an. Es folgt: P 2 ist zugleich der Ort der 
Ebenen, tvelche auf einem Netzstrahl in einem Mittelpunkt senkrecht stehen. 
Und dual: cP 2 ist zugleich der Ort der Punkte, welche mit einem Netz 
strahl zusammen in einer Mittelebene liegen und zu dessen sämtlichen 
Punkten absolut konjugiert sind, d. h. von ihm den Abstand ^ haben. 
Zugleich folgt: cP 2 und P 2 gehen durch die absolute Polarität in ein 
ander über. 
und P 2 vertauschen ihre Rollen für das absolutpolare Strahlennetz. 
46. Pokalinvolutionen und Fokalachsen. d> 2 sowohl wie P 2 
werden durch die windschiefe Involution scharweis in sich selbst über 
geführt, weil einer Punktreihe von Mittelpunkten, einem Ebenenbüschel 
von Mittelebenen immer eine Punktreihe von Mittelpunkten, ein Ebenen- 
büschel von Mittelebenen entspricht. Die windschiefe Involution ruft 
also in jeder Schar von P 2 und 0 2 eine Involution, Fokalinvolution, her 
vor. Die Ebenenbüschel um die Strahlen eines Paares von P 2 sind durch