§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Stralilennetz. 
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die windschiefe Involution in der Weise in Projektivität, gesetzt, daß ent 
sprechende Ebenen auf einander senkrecht stehen; sie erzeugen eine dem 
Netz angehörige Regelschar einer orthogonalen Fläche zweiter Ordnung. 1 ) 
Die Punktreihen auf den Strahlen eines Paares von CD 1 2 sind durch die 
windschiefe Involution so projektiv, daß entsprechende Punkte den Ab- 
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stand haben; die erzeugte Regelschar liegt auf einer Fläche, die der 
orthogonalen dual gegenübersteht. 
Wie in der Euklidischen Geometrie 2 ) läßt sich zeigen, daß im hyper 
bolischen Netz alle Fokalinvolutionen elliptisch sind, während im ellip 
tischen Netz auf O 2 und P 2 je eine hyperbolisch ist. Die Doppelelemente 
sind Netzstrahlen; sie heißen Fokalachsen. Für diejenigen auf P 2 sind die 
zur windschiefen Involution gehörigen Ebenenbüschel-Involutionen mit den 
absoluten Involutionen identisch, also entsprechende Ebenen stehen auf 
einander senkrecht; für diejenigen auf & 2 gilt dasselbe von den Punkt 
involutionen, je zwei entsprechende Punkte haben den Abstand y. 
Sind r, r x die Fokalachsen auf P 2 , p, p 1 diejenigen auf <D 2 , so ist r 
rechtsparallel zu p, linksparallel zu p x , r x rechtsparallel zu p t , linksparallel zu p. 
Die Punktinvolutionen auf p und p t sind perspektiv zu den Ebenen 
involutionen um r und r 1; weil sie zu derselben windschiefen Involution 
gehören. Die absoluten Ebeneninvolutionen um r und r x schneiden also in r t 
und r die absolute Punktinvolution ein. Das ist aber nach Nr. 9 gerade 
die Bedingung für den Parallelismus. Da nun in einem beliebigen Netze 
zu jeder Geraden nicht mehr als eine Parallele bestimmter Windung vor 
handen ist — der Fall der Existenz von mehr Parallelen wird in Nr. 49 f. 
behandelt — so sind die p und r wie im Satze angegeben kreuzweis rechts- 
und linksparallel. 
47. Parallelverwandtschaft, die Kernscharen. Jede Gerade 
eines beliebigen Netzes bestimmt ein rechtes und ein linkes Parallelennetz. 
Jedes von ihnen hat mit dem gegebenen noch eine reelle Gerade gemein. 
Das beliebige Netz besteht daher aus Paaren rechts- und Paaren links 
paralleler Geraden. 
Durchläuft ein Strahl eine Regelschar des Netzes, so erfüllen die 
zugehörigen rechtsparallelen Netze einen quadratischen Komplex, denn 
durch jeden Punkt geht ein Kegel zweiter Ordnung von rechtsparallelen 
Strahlen zu den Strahlen der Regelschar (Nr. 24). Der quadratische 
Komplex hat mit dem gegebenen Netz eine Regelfläche vierter Ordnung- 
gemein. Die ursprüngliche Regelschar ist ein Bestandteil von ihr, als 
zweiter Bestandteil bleibt wieder eine Regelschar. Durchläuft ein Netz- 
1) H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung etc. § 25. 
2) v. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, 1857, Heft 1, p. 64.