52 
Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
strahl eine Regelschar, so tut sein rechts-, linksparalleler das gleiche. Die 
Verwandtschaften rechts- und linksparalleler Geraden innerhalb des Netzes 
sind also linear. 
Zwei Regelscharen des Netzes, deren Strahlen zu einander rechts 
parallel sind, haben zwei Strahlen gemein. Diese müssen durch die Ver 
wandtschaft* rechtsparalleler Geraden entweder in sich selbst oder in ein 
ander übergehen. Die zweite Möglichkeit fällt weg, weil sie dann zu 
einander rechtsparallel wären, die beiden Regelscharen also zusammenfielen, 
denn ein Paar rechtsparalleler Geraden einer Regelschar verlangt nach 
Nr. 29 bereits eine Involution solcher Geraden. Das tritt aber bei einer 
beliebigen Schar des Netzes offenbar nicht ein. Es liegen in jeder Regel 
schar des Netzes zwei Geraden, die mit ihren in der Verwandtschaft rechts 
paralleler Geraden zugeordneten Strahlen zusammenfallen, also keine 
rechte Parallele mehr im Netz besitzen. Der Ort dieser Geraden ist 
eine Regelschar, ich will sie als rechte Kernschar bezeichnen, die ent 
sprechende Fläche für die Verwandtschaft linksparalleler Geraden als linke 
Kernfläche. 
Jede Regelschar des Netzes durch zwei rechtsparallele Geraden trägt 
eine Involution solcher Strahlen; deren Doppelelemente sind die gemein 
samen Strahlen der Regelschar mit der Kernschar. Jedes Paar rechts 
paralleler Strahlen des Netzes liegt also harmonisch zu je zwei Strahlen 
der rechten Kernschar, die mit ihnen auf einer Regelschar gelegen sind, 
und ist daher ein Paar polarer Geraden in bezug auf die Trägerfläche der 
rechten Kernschar. 
Es gibt im Strahlennetz eine Regelschar von Strahlen, ivelche keine 
rechten, und eine Regelschar von Strahlen, welche keine linken Parallelen 
im Netz besitzen; wir nennen sie rechte and linke Kernschar des Netzes. 
Die Venvandtschaften rechter und linker Parallelen werden hervorgerufen 
durch den Polarraum der Trägerflächen der rechten und linken Kernschar. 
Bewegung führt ein Paar paralleler Geraden immer in ein anderes 
gleicher Windung über. Die Umwendungen um die Gegenkantenpaare 
des Haupttetraeders, welche das Netz in sich überführen, müssen darum 
auch die Parallelverwandtschaften in sich überführen. Daraus folgt: Die 
Trägerflächen der beiden Kernscharen haben das Symmetrietetraeder des 
Netzes selbst zum Haupttetraeder. 
48. Realität der Kernscharen. Ist das Netz hyperbolisch mit 
den reellen Leitgeraden a, b, so finde ich die Rechtsparallele zu einem 
Netzstrahl g mit den Stützpunkten A, R folgender Weise: Ich lege durch 
den Punkt A die Linksparallele b' zu b. Die Ebene ab' schneidet b in B'. 
Die Parallele rechter Windung zu g durch B' muß 1/ schneiden, weil sie 
das Parallelogramm b'gbg' vervollständigt, sie schneidet also auch a in A'.