§ 3. Die lineare Kongruenz oder das Strahlennetz. 
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Die Konstruktion lehrt zugleich, daß durch die Verwandtschaft rechts 
paralleler Strahlen das Netzstrahlenbüschel mit Scheitel A in dasjenige 
mit Scheitel B' übergeht. Der gemeinsame Netzstrahl AB' entspricht 
sich dabei selbst, ist also ein Strahl der rechten Kernschar. Man sieht 
hier auch direkt, daß zwei rechtsparallele Strahlen bezüglich der Kernfläche 
polar sind. Die Konstruktion lehrt ferner: Im hyperbolischen Strahlennetz 
sind beide Kernscharen reell. 
Jede Regelschar des Netzes, welche die Hauptgeraden h, enthält, 
ist Schar eines gleichseitigen Paraboloids, trägt also eine Involution rechter 
und eine linker Parallelen. Alle diese Regelscharen erfüllen das ganze 
Netz. Die Doppelelemente der Involutionen gehören beziehungsweise der 
rechten und linken Kern schar an. Alle Strahlen einer solchen Regelschar 
sind zu den Hauptstrahlen gleichgewunden (Nr. 31). Im hyperbolischen 
Netz kommen beide Windungen vor, im elliptischen nur eine (Nr. 39). 
In einer Regelschar eines gleichseitigen Paraboloids, deren Strahlen zu den 
Hauptstrahlen rechtsgewunden sind, hat nur die Involution rechtsparalleler 
Strahlen reelle Doppelelemente (Nr. 31). Da im rechtsgewundenen ellip 
tischen Netz nur Regelscharen rechter Windung gegen die Hauptstrahlen 
Vorkommen, so folgt: Im rechtsgewundenen elliptischen Netz ist nur die 
rechte, im linksgewundenen nur die linke Kernschar reell. 
b) Besondere Strahlennetze. 
49. Netze mit oc 1 Par alleischaren. (Parallele Leitgeraden.) 
Bisher haben wir von dem Strahlennetz angenommen, daß es mit seinem 
absolutpolaren nur zwei Geraden gemein hat. Wir betrachten weiter 
den Fall, daß beide Strahlennetze eine Regelscbar gemein haben. Diese 
muß dann durch die absolute Polarität in sich selbst übergehen, also eine 
Schar einer orthogonalen Cliffordschen Fläche sein. Das tritt bei reellen 
Leitgeraden dann und nur dann ein, wenn die beiden Leitgeraden des 
Netzes parallel sind; die Schar, die es mit dem absolutpolaren gemein 
hat, ist dann die Regelschar der gemeinsamen Lote. Um aber auch hier 
das elliptische Netz einzuschließen, ohne doch die imaginären Leitgeraden 
zu benutzen, beweise ich: 
Enthält ein Netz eine rechtsgewundene Parallelregelschar, so setzt es 
sich aus oo 1 rechten Parallelregelscharen zusammen. Ist nämlich g ein 
beliebiger Strahl des Netzes außerhalb der Regelschar, so bestimmt er 
mit einem Strahl der Schar zusammen einen Parallelkomplex, bestehend 
aus oo 1 recbtsgewundenen Parallelennetzen, in welchem das ganze Netz 
enthalten ist. Die Leitgeraden des Netzes sind dann bezüglich dieses 
Parallelkomplexes nullpolar, also — wenn sie reell sind — nach Nr. 37 
linksparallel. Da ferner das Netz mit jedem der oo 1 rechten Parallelen