Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 67 
Gerade derselben Regelschar eines einfachen Hyperboloids bilden 
können. Es wird dies der Fall sein, sobald die beiden Doppelver 
hältnisse, welche ihre Schnittpunkte mit den beiden Transversalen qv 
und qv im allgemeinen Falle bilden, einander gleich werden; dann 
nämlich entstehen auf diesen Transversalen zwei durch drei der vier 
Punktepaare bestimmte projektive Punktreihen, zu denen auch das 
vierte Paar gehört, und deren Verbindungslinien entsprechender Paare 
gerade diejenige Pegelschar erzeugen, der auch die vier Fluchtlinien 
angehören. Es fragt sich also in erster Linie, ob wir die vier Flucht 
linien so wählen können, daß die genannten Doppelverhältnisse ein 
ander gleich werden. 
Wir nehmen (vgl. die schematische Fig. 25) 1 q 0 beliebig an und 
konstruieren ihre Antipolare lq$ (§ 11, F.-K. XII); sodann ziehen wir 
irgend eine Gerade, welche 1 q 0 
und lgfi schneidet und betrachten 
dieselbe als q?; die Antipolare 
dieser letzteren ist dann mit 
bestimmt, und weil q% die beiden 
Geraden 1 q 0 und 1 qß schneidet, 
so tut die Antipolare qv dies eben 
falls. Wählen wir auf qv einen be 
liebigen Punkt B, so enthält dessen 
Antipolarebene ß die Gerade q% und 
schneidet qv in einem Punkte B', der 
dem Punkte B zugeordnet ist in der 
Involution harmonischer Pole von qv in bezug auf die Kugel, für welche 
die Ebene ß nun nicht die Antipolarebene, sondern die Polar 
ebene ist von B, d. h. also in bezug auf die imaginäre Kugel vom 
Mittelpunkte C t und vom Radius d ]/ — T, deren reeller Stellvertreter 
die Distanzkugel ist; diese Involution ist natürlich elliptisch, und weil 
die Punkte A und A' ebenfalls ein Paar derselben bilden, so ist also 
das Doppelverhältnis (A.A' BB') notwendig negativ. 
Wir lassen nun in der Ebene ß', welche bestimmt wird durch den 
Punkt B und die Gerade qy, und welche nichts anderes ist als die 
Antipolarebene von B', einen Strahl b um den Punkt B rotieren; die 
Antipolare b desselben muß sich dann in der Ebene ß und um den 
Punkt B' herum bewegen und somit ein Strahlenbüschel erzeugen, 
welches projektiv ist dem von b beschriebenen. Die beiden projek 
tiven Büschel schneiden qv in zwei projektiven Punktreihen (P) und 
(P'), und diese sind in involutorischer Lage, denn die Antipolare von 
BB' ist offenbar B'F, und diese Involution ist wiederum elliptisch, 
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